연립방정식의 해
역행렬과 연립일차방정식
지금까지 가감법, 대입법, 두 직선의 위치관계 등 여러 가지 방법을 이용해서 연립일차방정식의 해를 구해 봤어요. 이 글에서는 연립일차방정식의 해를 구하는 새로운 방법으로 역행렬을 이용하는 방법을 알아볼 거예요.
역행렬을 이용해서 연립일차방정식의 해가 몇 개인지 알아보고 해를 구할 수 있다면 해를 구하는 것까지 해볼 거예요. 해를 구할 수 없다면 왜 그런지 어떤 특징 때문에 해를 구할 수 없는지도 알아볼 거예요 .
역행렬, 연립방정식, 직선의 위치관계 등 여러 내용이 섞여서 나오니까 주의해서 잘 보세요.
역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 
좌변의 행렬을 곱셈해보면 연립방정식이 나오는 걸 확인할 수 있죠.
행렬이니까 역행렬을 이용해서 x, y를 구할 수 있겠죠? 물론 역행렬이 존재한다면 말이죠.
ⅰ) ad - bc ≠ 0일 때(역행렬이 존재할 때)
위 행렬을 계산해보면, x, y의 값을 구할 수 있겠죠? 따라서 연립방정식
ⅱ) ad - bc = 0일 때(역행렬이 존재하지 않을 때)
역행렬이 없으면 위와 같은 방법으로 해를 구할 수 없어요.
ad - bc = 0
ad = bc
해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?
(x의 계수비) = (y의 계수비) = (상수항의 비) → 해가 무수히 많다
(x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비) → 해가 하나도 없다.
다른 방법으로 생각해보죠. 연립방정식
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 교점의 개수를 이용해서 연립일차방정식의 해를 구했어요.
기울기가 같고, y절편이 같다 → 두 직선은 일치 → 연립일차방정식의 해는 무수히 많다.
기울기가 같고, y절편이 다르다 → 두 직선은 평행 → 연립일차방정식의 해는 없다.
정리해보면 연립일차방정식을 행렬로 나타냈을 때, 역행렬이 존재하면 한 쌍의 해를 갖고, 역행렬이 존재하지 않으면 해가 무수히 많거나 하나도 없을 수 있다는 거예요.
역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.
역행렬을 이용하여 연립방정식 
연립방정식을 행렬로 나타내보죠.
D = ad - bc = 5 × 3 - (-1) × 4 = 15 + 4 = 19 ≠ 0이므로 역행렬을 가져요. 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.
x = 2, y = 2네요.
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연립방정식이란
연립방정식이라는 용어가 조금 생소하죠? 연립방정식은 2개 이상의 방정식을 묶어놓은 걸 말해요. 연립방정식의 해는 묶여있는 방정식을 모두 만족시키는 미지수의 값입니다.
우리가 배울 연립방정식은 미지수가 2개인 방정식 2개를 묶어놓은 방정식이에요. 각각의 방정식의 해를 구한 다음에 양쪽 모두를 만족시키는 해, 즉 양쪽 모두에 포함된 해를 찾으면 됩니다.
예제를 하나 풀어보죠.
다음 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.
먼저 첫 번째 방정식의 해를 구해보죠. x, y가 자연수라고 했으니까
- x = 1일 때 y = 4
- x = 2일 때 y = 3
- x = 3일 때 y = 2
- x = 4일 때 y = 1
총 네 개가 나오네요. 순서쌍으로 표시하면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)가 되겠고요.
두 번째 방정식의 해는
- x = 4일 때 y = 1
- x = 5일 때 y = 2
- x = 6일 때 y = 3
- x = 7일 때 y = 4
- …
계속해서 나오는군요. 순서쌍으로 표시하면 (4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), … 이렇게 되겠죠.
연립방정식의 해는 묶여 있는 식을 모두 만족시키는 해. 즉 공통근을 구해야 해요. 양쪽 모두에 (4, 1)이 들어있으니까 이 연립방정식의 해는 (4, 1)이 되는 걸 알 수 있어요. 다르게 표현하면 x = 4, y = 1이라고 해도 좋고요.