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상용로그의 활용에서 빼놓지 않고 나오는 문제는 예금 문제예요. 원금, 기간, 연이율 등을 알려주고 만기 때 얼마를 받을 수 있나를 묻는 문제지요.

물론 계산기로 간단하게 계산할 수 있는 문제이긴 하지만 상용로그의 성질과 상용로그표만 있다면 계산기 없이도 그 값을 구할 수 있어요.

단리와 복리라는 방법으로 계산하는데 이게 상당히 복잡해요. 아마 한 두 번 읽어서는 이해가 안 될 수도 있어요. 여러 번 반복해서 꼼꼼하게 읽어보세요.

상용로그의 활용

먼저 단리와 복리에 대해서 알아보죠.

예를 들어 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 단리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원이죠.
두 번째 해에도 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 주죠. 총 102만 원이 됐어요.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 줍니다.

결국, 10년동안 1만 원씩 10번을 주니까 총 10만 원의 이자를 받죠. 물론 원금 100만 원도 받고요. 100만 원이 10년 후에는 110만 원이 돼요.

이걸 식으로 나타내보죠. 1% = 0.01이군요.

첫해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01 + 0.01) = 100만원(1 + 0.02)
세 번째 해: 100만원(1 + 0.02) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.02 + 0.01) = 100만원(1 + 0.03)
n 번째 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 × n = 100만원(1 + 0.01 × n)

이게 단리예요. 원금은 일정하고 그에 대한 이자만 지급하는 방식이에요.

복리는 조금 복잡해요.

똑같이 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 복리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원의 돈이 있어요.
두 번째 해에는 원금 100만 원의 1%인 만 원만 이자로 주는 게 아니에요. 원금 100만 원에 전년도에 받은 이자 1만 원까지 101만 원의 1%인 1만 1백 원을 이자로 주지요. 총 102만 1백 원이 있어요.
세 번째 해에는 원금 100만 원에 첫해에 받은 이자 1만 원, 두 번째 해에 받은 1만 1백 원까지 해서 102만 1백 원의 1%인 1만 201원을 이자로 줘요. 총 103만 301원이 있어요.

이걸 식으로 나타내보죠.

첫 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원(1 + 0.01) × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)²
세 번째 해: 100만원(1 + 0.01)² + 100만원(1 + 0.01)² × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)²(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)³
n 번째 해: 100만원(1 + 0.01)ⁿ

복리는 이렇게 단리와 다르게 이자에도 이자를 쳐줘요. 그래서 단리보다 계산도 복잡하고 마지막에 받는 돈도 더 많이 받죠.

원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: 원, 복리: 원

1000만 원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 때와 복리로 계산할 때의 10년 후 원리합계의 차이는 얼마인지 구하여라. (log1.05 = 0.0212, log1.63 = 0.2122)

먼저 단리로 계산해보죠.

15,000,000원이네요.

복리로 계산해보죠.

1.05¹⁰을 구하려면 구할 수는 있어요. 하지만 상용로그값이 나와 있으니 이걸 활용해볼까요?

1.05¹⁰에 상용로그를 취해보죠.

log1.05¹⁰ = 10 × log1.05 = 10 × 0.0212 = 0.212

우리가 알아야하는 건 1.05¹⁰인데, 실제로 구한 건 log1.05¹⁰ = 0.212에요. 그럼 여기서 1.05¹⁰을 어떻게 구할까요? 두 상용로그의 값이 같으려면 진수가 같아야 해요. 상용로그표에서 0.212라는 상용로그값을 갖는 진수를 찾으면 그 진수와 1.05¹⁰가 같다는 거지요.

똑같은 값은 없고 log1.63 = 0.2122로 0.212와 가장 가깝네요.

즉 log1.05¹⁰ = 0.212 ≒ 0.2122 = log1.63

1.05¹⁰ ≒ 1.63이라는 걸 구했어요. 실제로 1.05¹⁰ ≒ 1.6289에요.

이제 식에 대입해보죠.

16,300,000원이네요.

복리로 하면 16,300.000원, 단리로 하면 15,000,000만원이에요.

그 차이는 1,300,000원이네요.

복리로 하는 게 훨씬 이익이죠?

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상용로그도 제곱근표, 삼각함수표처럼 그 값을 미리 구해놓은 표가 있어요.

이 글에서는 상용로그표를 이용하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. 상용로그표에서 원하는 숫자의 상용로그 값을 어떻게 찾는지 말이죠. 상용로그표를 이용하는 방법은 제곱근표, 삼각함수표와 같으니까 어렵지 않아요.

상용로그표에는 전에 사용했던 표에는 없던 비례부분이라는 게 있는데, 비례부분이 어떤 걸 말하는지 또 비례배분을 이용해서 상용로그값을 어떻게 찾는지도 알아보죠.

상용로그표

상용로그표는 1.00 ~ 9.99까지의 상용로그값을 표로 만들어 놓은 거예요. 제곱근표, 삼각비표, 삼각함수표랑 비슷하지요.

세로에는  1.0 ~ 9.9까지 있는데, 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리이고, 가로에는 0 ~ 9까지의 있는데 소수점 이하 두 번째 자리를 나타내요. 소수점 앞에 0이 생략되어 있어요.

세로에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리, 가로줄에서 소수점 이하 두 번째 자리를 선택해서 만나는 점의 숫자가 상용로그값이에요.

log1.23에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 자리가 1.2니까 세로줄에서 1.2를 선택하고, 소수점 이하 두 번째 자리 3이니까 가로줄에서 3을 선택했어요. 두 줄이 만나는 0.0899가 log1.23의 값이에요.

비례부분의 법칙

상용로그표에서는 1.00 ~ 9.99사이의 값을 구할 수 있어요. 상용로그표에 있지 않은 숫자는 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 구할 수 있어요.

log123 = log(1.23 × 10²) = log1.23 + log10² = 0.0899 + 2 = 2.0899

그런데, 1.234처럼 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 없는 수의 값은 어떻게 구할까요? 이런 값을 구할 때 비례부분의 법칙이라는 걸 활용해요.

비례부분의 법칙은 진수의 변화가 작을 때 진수가 바뀌는 것과 상용로그 값이 바뀌는 게 정비례한다고 가정하고 근삿값을 구하는 거예요. 구하려고 하는 숫자와 가장 가까운 두 숫자를 상용로그표에서 찾아서 그 둘의 비례를 이용해서 값을 구하는 거죠.

log1.234의 값을 구해보죠.

상용로그표에서 진수 1.234와 가장 가까운 두 숫자는 1.23, 1.24예요.

log1.23 = 0.0899
log1.24 = 0.0934

두 상용로그에서 진수가 0.01차이 날 때 상용로그값은 0.0035차이나죠? 1.234와 1.23은 0.004차이 나고요. 진수가 차이 나는 비율만큼 상용로그값도 차이가 난다고 보고 이걸 비례식으로 세워보죠.

(1.24 - 1.23) : (0.0934 - 0.0899) = (1.234 - 1.23) : x
0.01 : 0.0035 = 0.004 : x

비례식을 풀어보면 x = 0.0014가 나와요.

log1.234
= log1.23 + 0.0014
= 0.0899 + 0.0014
= 0.0913

이런 방법으로 0.001단위씩 구한 숫자들을 상용로그표의 비례부분에 적어놓았어요.

상용로그표의 비례부분에서 세로줄의 1.2와 가로줄 비례부분의 4가 만나는 곳의 숫자 14가 0.0014예요. 상용로그표에는 소수점 아래 네 자리 숫자로 나와 있으니까 14에서 1은 소수점 아래 세 번째, 4는 소수점 아래 네 번째 자리의 숫자예요.

14라는 건 그 줄에서 구한 모든 값에 항상 0.0014를 더해주는 거예요.

log1.234 = log1.23 + 0.0014
log1.244 = log1.24 + 0.0014
log1.254 = log1.25 + 0.0014

위 상용로그표를 보고 log1.353의 값을 구해볼까요?

일단 상용로그표에서 log1.35 = 0.1303이네요. 그리고 비례부분을 보면 1.3과 비례부분의 3이 만나는 곳의 숫자가 10인데 이건 0.0010을 의미해요. 따라서 log1.353 = log1.35 + 0.0010 = 0.1313이에요.

상용로그표에 나와 있지 않는 숫자들의 상용로그값을 구할 수 있겠죠?

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거듭제곱근에서 제곱근이 기본인 것처럼 로그의 기본은 상용로그예요.

이 글에서는 상용로그가 무엇인지, 상용로그에서 사용하는 용어인 지표와 가수가 무엇인지에 대해서 알아볼 거예요. 또 이 지표와 가수는 어떤 특징이 있는지도 알아볼 거고요. 지표와 가수의 성질을 이용하면 2¹⁰⁰처럼 엄청 큰 숫자를 직접 구해보지 않아도 몇 자리 자연수인지 쉽게 알 수 있어요. 예제를 통해서 직접 구해보죠.

상용로그

10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라고 해요. 거듭제곱에서 지수 1은 생략하죠? 제곱근에서 의 2를 생략하는 것처럼 상용로그에서는 밑 10을 생략해요.

log₁₀2 = log2
log₁₀10 = log10 = 1
log₁₀100 = log100 = log10² = 2

상용로그의 지표와 가수

일반적으로 양수 N은 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)으로 나타낼 수 있죠?

123 = 1.23 × 10²
0.123 = 1.23 × 10^-1

N = a  × 10ⁿ의 양변에 상용로그를 취해보죠.

logN = log(a × 10ⁿ)
logN = loga + log10ⁿ
logN = n + loga

1 ≤ a < 10에 상용로그를 취해보죠.

log1 ≤ loga < log10
0 ≤ loga < 1

loga는 소수예요.

logN = n + loga에서 정수 부분 n을 logN의 지표, 소수 부분인 loga를 logN의 가수라고 해요.

중3 때 공부했던 무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 무리수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타내는 것처럼 상용로그도 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때 다음 상용로그의 지표와 가수를 구하여라.
(1) log123
(2) log12300
(3) log0.123
(4)

양수 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)로 바꾸고 상용로그를 취하여 logN = n + loga가 되었을 때 정수 부분 n을 지표, 0 ≤ loga < 1인 소수 부분을 가수라고 해요.

(1) log123 = log(1.23 × 10²)
log123 = log1.23 + log10²
log123 = 2log10 + log1.23
log123 = 2 + 0.0899

지표는 2, 가수는 0.0899

(1) log12300 = log(1.23 × 10⁴)
log12300 = log1.23 + log10⁴
log12300 = 4log10 + log1.23
log12300 = 4 + 0.0899

지표는 4, 가수는 0.0899

(3) log0.123 = log(1.23 × 10^-1)
log0.123 = log1.23 + log10^-1
log0.123 = -1 + 0.0899

지표는 -1, 가수는 0.0899

(4)번은 진수가 분수네요. 로그의 뺄셈으로 바꿀 수 있죠?

지표는 -2, 가수는 -0.0899일까요? 아니에요. 가수의 범위는 0 ≤ 가수 < 1인데, 여기서는 0보다 작아요.

무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 음수인 무리수는 어떻게 했나요? 0 ≤ (소수 부분) < 1이어야 하니까 소수 부분이 음수일 때 소수 부분에는 (+1)을 정수 부분에는 (-1)을 해줬어요. 여기서도 똑같이 소수 부분에 (+1), 정수 부분에 (-1)을 해줘요.

-2 - 0.0899
= (-2 - 1) + (1 - 0.0899)
= -3 + 0.9101

지표는 -3, 가수는 0.9101

(3)번에서는 지표는 음수지만 0 ≤ 가수 < 1를 만족하니까 그냥 그대로 둔 거고 (4)번은 가수가 0보다 작아서 +1, -1을 해줘서 값을 바로잡은 거예요.

상용로그의 값이 음수일 때 지표와 가수

위 예제에서

log123 = 2 + 0.0899 = 2.0899
log0.123 = -1 + 0.0899 = -0.9101

log123은 log123 = 2 + 0.0899으로 쓰여 있으나 log123 = 2.0899로 쓰여 있으나 지표와 가수를 알아보기 쉬워요.

log0.123 = -1 + 0.0899로 쓰여 있으면 지표와 가수를 알아보기 쉬워요. 그런데 log0.123 = -0.9101로 되어 있으면 지표와 가수를 알아보기 힘들죠? 그래서 log0.123 = -1 + 0.0899 = 로 쓰기도 해요. 음수인 지표 위에 윗줄(bar)를 긋고 양수인 가수는 그냥 그대로 소수점 이하 숫자로 적는 거죠.

 = -3 + 0.9101에서 지표는 -3이니까 위에 줄을 그어서 , 그 뒤에 가수 0.9101을 그대로 붙인 로 나타내죠.

이런 표현법은 음수인 지표와 양수인 가수를 한꺼번에 쓴 거니까 일반적인 양수, 음수와 달라요.

 ≠ -3.9101

 = -3 + 0.9101
-3.9101 = -3 - 0.9101

상용로그 지표와 가수의 성질

몇 가지 더 구해볼까요?

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = log(1.23 × 10¹) = log1.23 + log10¹ = log10 + log1.23 = 1 + 0.0899
log1230 = log(1.23 × 10³) = log1.23 + log10³ = 3log10 + log1.23 = 3 + 0.0899
log0.0123 = log(1.23 × 10^-2) = log1.23 + log10^-2 = -2log10 + log1.23 = -2 + 0.0899

앞의 예제와 위에서 구한 상용로그들을 순서대로 적어보죠.

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = 1 + 0.0899
log123 = 2 + 0.0899
log1230 = 3 + 0.0899
log12300 = 4 + 0.0899
log0.123 = -1 + 0.0899
log0.0123 = -2 + 0.0899

어떤 특징이 있나요?

일단 제일 먼저 눈에 띠는 건 가수가 모두 같아요. 진수가 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300, 0.123, 0.0123으로 숫자들의 배열은 같고 소수점의 위치만 다를 때 가수가 모두 같죠.

두 번째는 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300으로 진수의 자리수가 하나 늘어날 때마다 지표가 1씩 커지죠? 진수의 정수 부분이 한 자리면 지표는 0, 진수의 정수 부분이 두 자리면 지표가 1이에요. 진수의 정수 부분의 자릿수보다 지표가 1작아요. 진수의 정수 부분이 n자리면 지표는 n - 1이죠.

정수 부분이 0일 때는 어떤가요? 0.123에서 정수 부분이 0으로 한 자리니까 지표는 -1이죠. 그런데, 0.0123에서 정수 부분이 0으로 한 자리인데 지표는 -2죠? 정수 부분이 n자리면 지표가 n - 1이라는 건 진수의 정수 부분이 0일 때는 성립하지 않는 걸 알 수 있어요.

정수 부분이 0일 때는 다른 특징이 있어요.

0.123에서는 소수점 이하 첫 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요. 그리고 이때의 지표는 -1이죠. 0.0123에서는 소수점 이하 두 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오고 이때의 지표는 -2예요.

즉 진수의 정수 부분이 0일 때는 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리수가 지표와 같아요. 소수점 이하 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오면 지표는 -n이에요. -n은 이라고도 표시하죠?

지표와 가수의 성질
진수의 정수 부분이 0보다 클 때: 정수 부분의 자릿수가 n이면 상용로그의 지표는 n - 1
진수의 정수 부분이 0일 때: 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리가 n이면 상용로그의 지표는 -n()
진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다를 때: 상용로그의 가수가 같다.

이 지표와 가수의 성질을 알면 위의 예제처럼 로그의 성질을 이용해서 계산을 하지 않고 진수만 보고 바로 지표와 가수를 바로 알아낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때, log1230000의 지표와 가수를 구해보죠.

1230000은 정수 부분이 7자리이므로 지표는 6, 진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다르니까 가수는 같아요.

log1230000 = 6 + 0.0899

log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때 다음을 구하여라.
(1) 2¹⁰⁰는 몇 자리의 자연수인지 구하여라.
(2) 은 소수 몇 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는지 구하여라.
(3) 6⁵⁰은 몇 자리의 자연수인지 구하여라.

(1) 2¹⁰⁰에 상용로그를 취해보죠.

log2¹⁰⁰ = 100 × log2 = 100 × 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10

지표가 30이므로 진수 2¹⁰⁰의 정수 부분은 31자리네요. 따라서 2¹⁰⁰은 31자리 자연수입니다.

(2) 도 상용로그를 취해보죠.

지표가 -61이므로 소수점 이하 61번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요.

(3) 6⁵⁰에 상용로그를 취해보죠

log6⁵⁰ = 50 × log6 = 50 × (log2 + log3) = 50 × (0.3010 + 0.4771) = 50 × 0.7781 = 38.905 = 38 + 0.905

지표가 38이므로 진수 6⁵⁰은 정수 부분이 39자리입니다. 따라서 6⁵⁰은 39자리 자연수네요.

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