삼각형의 합동 조건
삼각형의 닮음 조건, 삼각형 닮음의 조건
닮은 도형에 대해서 공부하고 있어요. 어떤 도형을 닮은 도형이라고 하는지, 어떤 성질이 있는지, 어떤 위치에 있는지요. 이 글에서는 닮음비를 알려주지 않았을 때, 두 삼각형이 닮은 도형이 되려면 어떤 조건을 갖춰야 하는지 알아보죠.
먼저, 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건과 같아요. 아주 작은 차이만 있어요. 이 차이는 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 참고로 삼각형의 합동조건은 삼각형의 작도 조건과도 같으니까 꼭 알고 있어야 하는 조건이에요. 앞으로도 계속 나와요.
삼각형의 닮음 조건
먼저 삼각형의 합동 조건부터 얘기해볼까요? 세 가지가 있죠?
- SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
- SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
- ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때
합동은 두 도형의 닮음비가 1 : 1일 때에요. 비가 1 : 1이니까 대응변의 길이가 같겠죠? 그런데 닮음은 1 : 1이 아닌 경우도 있으니까 대응변의 길이가 달라요. 대신 대응변의 길이의 비가 같죠. 따라서 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건에서 "길이가 같다."를 "길이의 비가 같다."로 바꾸면 돼요.
또 한 가지 차이가 있는데요. 삼각형은 각이 세 개고 내각의 합은 180°죠? 두 삼각형에서 두 쌍의 대응각 크기가 같으면 자동으로 나머지 한 쌍의 대응각 크기도 같아서 결국 세 쌍의 대응각 크기가 다 같아요. 세 쌍의 대응각의 크기가 같으면 닮은 도형이잖아요. 따라서 세 번째 ASA에서 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 돼요. 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같은지는 굳이 확인하지 않아도 된다는 거죠. 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 되니까 ASA 닮음이 아니라 AA 닮음이라고 해요.
| 합동 | 닮음 |
|---|---|
| SSS 합동 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때 |
SSS 닮음 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 |
| SAS 합동 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 |
SAS 닮음 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 |
| ASA 합동 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때 |
AA 닮음 |
다음 그림에서 
(1)
(2) ∠C = ∠F
문제에서 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 한 쌍의 대응각의 크기가 같다고 했네요. 그런데 이 대응각이 길이의 비가 같은 대응변 사이의 끼인각은 아니네요.
(1) 번에서 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다는 조건이 추가된다면 결국 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같아지므로 두 삼각형은 SSS 닮음이 됩니다.
또, 
(2) 번에서 한 쌍의 대응각의 크기가 같다는 조건이 나왔어요. 이 대응각은 길이의 비가 같은 두 쌍의 대응변 사이의 끼인 각이 아니죠. 따라서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 AA 닮음입니다.
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도형의 합동, 삼각형의 합동조건
이제 도형의 기초 단원의 마지막이에요
양이 상당히 많았네요. 점, 선, 면부터 시작해서 위치관계, 작도까지
직접 그림을 그려보지 않으면 이해가 잘되지 않아서 어렵긴 하지만 몸으로 익힌 거라서 한 번 이해하면 머리에 조금 더 오래 남는 단원이기도 해요.
이제 마지막이니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억해보세요. 오늘 할 내용의 절반은 앞에서 했던 내용과 같아요. 절반은 거저 먹는 거예요.
도형의 합동
합동이에요. 합동은 함께 모여서 일을 하는 걸 말하는데, 여기서 말하는 합동은 그게 아니에요
도형을 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겨서 다른 도형에 완전히 포갤 수 있을 때 두 도형을 합동이라고 해요. 쉽게 말해서 도형을 뒤집고 돌려봐서 두 도형이 똑같으면 합동인 거예요.
기호로는 ≡로 표시해요. 작대기가 세 개예요. =에 -을 하나 더 해서 -가 총 세 개입니다.
모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 바꾼 거니까 두 도형의 모양과 크기는 같겠죠? 넓이도 같아요.
합동인 두 도형에서 꼭짓점도 각도 변도 모두 포개지겠죠? 이렇게 포개지는 걸 대응한다고 하는데 포개지는 변을 대응변, 포개지는 각을 대응각, 포개지는 꼭짓점을 대응점이라고 해요.
삼각형을 이용해서 조금 더 설명할게요
아래 △ABC와 △DEF가 있어요. 이 두 삼각형은 서로 합동이에요. △DEF를 180° 돌리면 △ABC와 포개지거든요.
대응점을 찾아보죠. 대응점은 도형을 포갰을 때 서로 겹치는 점이에요. 서로가 서로에게 대응점이에요.
점 A - 대응점 - 점 D
점 B - 대응점 - 점 E
점 C - 대응점 - 점 F
이번에는 대응변을 찾아볼까요? 변 AB와 변 DE가 서로 포개져요. 그러니까 변 AB의 대응변은 변 DE이죠. 대응변의 길이는 서로 같아요. 당연하죠. 서로 포개지는 거니까요.
변 AB - 대응변 - 변 DE
변 BC - 대응변 - 변 EF
변 CA - 대응변 - 변 FD
∠A와 ∠D도 서로 포개지죠. 그러니까 서로가 서로의 대응각이에요. 대응각의 크기도 서로 같아요.
∠A - 대응각 - ∠D
∠B - 대응각 - ∠E
∠C - 대응각 - ∠F
도형의 합동을 기호로 ≡로 표시한다고 했으니 두 △ABC, △DEF가 합동이면 △ABC ≡ △DEF로 표시할 수 있어요. 이때 꼭 기억해야하는 한 가지가 있는데요. 바로 두 삼각형을 적을 때, 대응점의 순서가 같아야한다는 거예요.
△ABC는 이름을 적을 때, A, B, C의 순서로 적었어요. 그러니까 그와 합동인 삼각형은 A의 대응점인 D, B의 대응점인 E, C의 대응점인 F의 순서로 적은 △DEF라는 거예요
△DEF와 △DFE, △EDF, △EFD, △FDE, △FED는 하나의 삼각형을 부르는 여러 이름이에요. 하지만 △ABC에 합동인 삼각형을 부를 때는 꼭 △DEF라는 이름을 써야 해요.
그럼 △CBA과 합동인 삼각형은 뭐라고 불러야 할까요? 각 C, B, A의 대응점을 순서대로 붙인 △FED죠.
이거 중요해요. 그림을 봐서 대응점을 잘 못 찾을 때 이름만 보고도 금방 알 수 있어야 해요.
삼각형의 합동조건
위의 내용은 모든 평면도형에 적용되는 내용이에요. 삼각형이든 사각형이든 오각형이든 상관없어요.
삼각형의 합동조건은 삼각형에만 적용되는 거예요. 다만 새로운 건 아니에요. 이미 공부했던 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도의 연장선이거든요.
삼각형을 작도할 수 있는 조건은 세 가지가 있었어요. 세 변의 길이가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때죠?
삼각형의 합동 조건도 세 가지가 있어요. 뭘까요? 차이가 있다면 두 삼각형 사이에서 생기는 조건이므로 하나 또는 둘이 아니라 한 쌍, 두 쌍이라고 쓰는 거죠.
- SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
- SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이와 끼인각의 크기가 같을 때
- ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이와 양쪽 끝각의 크기가 같을 때
S는 변을 나타내는 side, A는 각을 나타내는 angle의 첫 글자를 딴 거예요. SSS는 세 변, SAS는 두 변과 끼인 각, ASA 는 한 변과 양 끝각이라는 걸 조금 더 쉽게 기억할 수 있어요.
삼각형의 작도, 삼각형의 합동의 세 조건이 모두 같아요. 따로 외울 필요 없겠죠?
아래 두 삼각형은 서로 합동이다. 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 두 삼각형은 삼각형의 합동 조건 중 어디에 해당하는가?
(2) 변 BA의 대응변은?
(3) ∠F와 포개지는 각은?
(4) 점 E에 대응하는 점은?
(1)번, 숫자는 쓰여 있지 않지만 그림을 보면 아랫변에 길이가 같다는 표시가 되어 있고, 양 끝각에 각 표시가 되어 있는 걸로 봐서 삼각형의 합동조건 중 세 번째인 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때에 해당하는 걸 알 수 있어요.
(2)번, 두 삼각형이 합동이니까 기호로 표시하면 △ABC ≡ △DEF로 쓸 수 있지요? 변 BA의 대응변을 물어봤어요. 그러면 변 DE가 되겠죠? 그런데 우리 삼각형의 이름을 부를 때 어떻게 하기로 했어요? 대응점의 순서대로 부르기로 했잖아요. 그러니까 변을 말할 때도 대응점의 순서대로 하면 변 DE가 아니라 변 ED가 되어야겠죠? 사실 변이나 각에서는 이름을 대응점 순서대로 하지 않아도 상관없어요. 하지만 삼각형과의 통일성을 위해서 이렇게 연습하세요.
(3) ∠F와 포개지는 각은 ∠F의 대응각을 찾으라는 얘기죠? ∠F의 대응각은 ∠C네요.
(4) 점 E에 대응하는 점은 점 E의 대응점 즉, 점 B네요.
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