수학방

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 해서 근을 구하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구해요. 둘 중 하나를 선택할 수 있어요. 하지만 삼차이상의 고차방정식에서는 일단 무조건 인수분해를 해야 해요. 따라서 고차방정식의 풀이에서는 인수분해를 잘하는 것이 중요해요.

고차방정식을 인수분해하는 방법은 다항식을 인수분해하는 방법과 같아요. 앞에서 공부했던 인수분해 방법들에 대해서 복습하는 차원이라고 생각하세요.

고차방정식 중에서 치환을 이용해서 푸는 문제와 복이차식의 풀이법을 공부해보죠.

고차방정식의 풀이

이 글에서 공부할 건 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식에서 했던 내용이에요. 고차방정식을 인수분해하고, 이후에 근을 구하는 과정만 추가된 것뿐입니다.

고차방정식의 풀이 - 치환

치환은 식의 특정한 부분을 다른 문자나 식으로 바뀌어 계산하고, 계산이 끝난 이후에는 원래의 식으로 되돌려주는 걸 말하죠.

치환할 때는 대부분 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 쳐진 부분이 있어서 눈에 금방 띄어요. 눈에 금방 띄지 않는다면 인수분해나 전개를 해서 치환할 부분을 찾아야 해요.

공통부분이 없을 때는 서로 다른 부분을 치환하기도 합니다.

• 공통부분이 있으면 바로 치환
• 공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환
서로 다른 부분을 서로 다른 문자로 치환

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) (x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(2) (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3

(1)번은 공통인 부분이 눈에 띄지 않죠? 하지만 괄호로 쳐진 부분이 있어요. 그곳을 잘 이용하면 인수분해할 수 있어요.
(x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0
t² + 7t + 12 = 0                        (∵ x² - 4x = t로 치환)
(t + 3)(t + 4) = 0
(x² - 4x + 3)(x² - 4x + 4) = 0    (∵ t = x² - 4x)
(x - 1)(x - 3)(x - 2)² = 0
x = 1 or 3 or 2(중근)

(2)번 같은 문제는 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 봤는데, 상수항이 가장 작은 것과 가장 큰 것을 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 따로 전개해서 푸는 거라고 했어요.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3
(x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = 3     (∵두 개씩 짝짓기)
(x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 3      (∵ 각각을 전개)
(t + 4)(t + 6) = 3                         (∵ x² - 5x = t로 치환)
t² +10t + 24 = 3
t² + 10t + 21 = 0
(t + 3)(t + 7) = 0
(x² - 5x + 3)(x² - 5x + 7) = 0      (∵ t = x² - 5x)

마지막에서 둘 다 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해야겠네요.

고차방정식의 풀이 - 복이차식

복이차식은 짝수차로만 이루어진 식을 말해요. 이때는 x²를 t로 치환해서 풀어요. t로 치환해서 인수분해가 되면 위에서 했던 대로 치환을 이용해서 풀면 돼요.

치환했는데 인수분해가 안 되면 다른 방법을 이용합니다. 이때는 식에 적당한 t 일차항을 빼주거나 더해줘서 t에 대한 완전제곱식이 될 수 있도록 해야 해요. 완전제곱식에서 일차항과 상수항은 아래와 같은 관계가 있죠?

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해합니다.

• 복이차식: x² → t로 치환
  • 인수분해되면 인수분해
  • 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ - 5x² + 4 = 0
(2) x⁴ - 3x² + 1 = 0

(1) 복이차식이니까 x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 5x² + 4 = 0
t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
(x² - 1)(x² - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = ±1 or ±2

(2) x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 3x² + 1 = 0
t² - 3t + 1 = 0        (∵ x² = t로 치환)
t² - 2t + 1 - t = 0    (∵ -3t = -2t - t)
(t - 1)² - t = 0
(x² - 1)² - x² = 0   (∵t = x²)
(x² + x - 1)(x² - x - 1) = 0

근의 공식으로 근을 구하면 가 돼요.

여기서는 완전제곱식을 만들기 위해서 t 일차항을 더해주고 뺀 것이 아니라 원래 있던 t 일차항을 둘로 나눴어요.

함께 보면 좋은 글

인수분해, 인수분해 공식
복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식
고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이
곱셈공식, 곱셈공식 유도

인수분해는 중학교에서 했던 것과 지금 하는 것에 차이가 거의 없어요. 문제가 어려워진 것뿐이에요. 복잡한 식의 인수분해도 똑같아요. 진짜 어려웠던 문제들이 이제는 기본문제(?)로 바뀐 거지요.

복잡한 식의 인수분해는 원리도 똑같고, 인수분해를 하는 방법도 똑같아요. 중학교 때 공부했던 내용을 하나씩 잘 떠올려 보세요.

모든 인수분해의 첫 번째는 공통인수로 묶는 거예요. 그다음에 아래의 방법들을 사용하는 거지요.

복잡한 식의 인수분해

치환

치환은 특정한 부분을 다른 문자로 바꿔 계산하는 걸 말하죠. 그리고 계산이 끝나면 바꿨던 문자에 원래 식을 대입해야 하고요.

대부분 여러 항에 공통으로 들어있는 부분을 치환하는데 공통부분은 괄호가 처져 있어서 눈에 잘 띄어요. 괄호가 처져 있는 공통부분이 보이지 않는다면 공통부분이 생기도록 만들어야 하는데 이게 연습이 좀 필요해요. 대체로 한 부분 정도는 괄호로 처져 있는 게 있으니까 다른 부분에서도 괄호로 처진 부분이 나오도록 식의 모양을 바꿔야 해요.

꼭 공통부분이 아니더라도 치환을 할 수 있어요. 식이 너무 길어질 것 같으면 서로 다른 부분이라도 치환할 수 있는데, 이때는 서로 다른 문자로 치환해야 해요.

• 공통부분이 있으면 바로 치환
• 공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환
• 서로 다른 부분을 서로 다른 문자로 치환

△ABC의 변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때 a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b) = 0이 성립한다. △ABC는 어떤 삼각형인가?

일단 공통인 부분이 없어요. 괄호로 쳐진 부분이 세 개나 있지만 다 다르고요. 그렇다고 a²X + b²Y + c²Z처럼 각각을 다른 문자로 치환한다고 해도 인수분해를 할 수 있는 것도 아니에요. 이럴 때는 아무거나 괄호를 하나 선택하고, 나머지 부분에서 괄호부분이 나오게 변형을 해서 치환을 해야 해요. 가장 앞에 있는 (b - c)를 선택하고 남은 부분을 전개해서 (b - c)가 나오도록 변형을 해보죠.

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b)
= a²(b - c) + b²c - ab² + ac² - bc²
= a²(b - c) + b²c - bc² - ab² + ac²
= a²(b - c) + bc(b - c) - a(b² - c²)
= a²(b - c) + bc(b - c) - a(b + c)(b - c)
= a²t + bct - a(b + c)t                         (∵ b - c = t로 치환)
= t{a² + bc - a(b + c)}
= t{a² - (b + c)a + bc}
= t(a - b)(a - c)
= (b - c)(a - b)(a - c)                        (∵  t = b - c)
= -(a - b)(b - c)(c - a)

-(a - b)(b - c)(c - a) = 0이 성립하므로 a - b = 0이거나 b - c = 0이거나 c - a = 0이어야 하죠. 즉, a = b or b = c or c = a이라는 얘기네요. a = b = c일 수도 있고요.

따라서 △ABC는 이등변삼각형이거나 정삼각형이네요.

복이차식

복이차식은  2차, 4차처럼 짝수차 항으로만 되어 있는 식을 말해요. 상수항은 0차니까 짝수차 항으로 볼 수 있어요. 이때는 x² = t로 치환해서 풀면 쉬워요.

x² = t로 치환을 해도 안되는 경우가 있어요. 이때는 완전제곱식을 만들어서 인수분해해요. 완전제곱식을 만들 때는 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 했던 것처럼 일차항과 상수항의 관계를 이용해요. 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서는 일차항을 기준으로 놓고, 상수항을 더해주고 빼서 완전제곱식을 만들었는데, 복이차식에서는 상수항을 기준으로 놓고, t항을 더해주고 빼서 완전제곱식을 만드는 점이 달라요.

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해를 합니다.

• 복이차식: x² → t로 치환
  • 인수분해되면 인수분해
  • 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음을 인수분해 하여라.
(1) x⁴ + x² - 20
(2) x⁴ + 6x² + 25

x⁴ + x² - 20
= t² + t - 20                  (∵ x² = t로 치환)
= (t - 4)(t + 5)
= (x² - 4)(x² + 5)          (∵ t = x²)
= (x - 2)(x + 2)(x² + 5)

(2)에서 x² = t로 치환하면 식은 t² + 6t + 25가 돼요. 이건 인수분해가 안되죠? 그래서 t의 일차항과 상수항 사이의 관계를 이용해서 적당한 t항을 더해주고 빼줘야 해요.

x⁴ + 6x² + 25
= t² + 6t + 25                 (∵ x² = t로 치환)
= t² + 6t + 25 + 4t - 4t
= t² + 10t + 25 - 4t
= (t + 5)² - 4t
= (x² + 5)² - 4x²          (∵ t = x²)
= (x² + 5)² - (2x)²
= (x² + 5 + 2x)(x² + 5 - 2x)
= (x² + 2x + 5)(x² - 2x + 5)

한 문자에 관하여 내림차순으로 정리

치환할 부분도 얼른 보이지 않고, 항이 많이 있으면 차수가 낮은 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리하세요. 여러 문자 중 차수가 가장 한 문자를 선택하는데, 차수가 같으면 아무거나 골라도 상관없어요.

내림차순으로 정리하면 상수항 부분 (선택한 문자가 아닌 다른 문자 포함)이 인수분해가 되는데, 이를 이용해서 또 한 번 인수분해를 해야 해요. 상수항 부분을 인수분해한 것이 다항식이라서 두 번째 인수분해할 때 조금 어려울 수 있어요.

차수가 낮은 한 문자에 대해서 내림차순으로 정리
상수항 부분을 인수분해 후 전체를 인수분해

x² + xy - 2y² - x + 7y - 6을 인수분해하여라.

식이 기니까 한 문자에 관해서 내림차순으로 정리를 해야 하는데, x도 2차, y도 2차니까 아무거나 선택하면 돼요. x를 골라보죠.

x² + xy - 2y² - x + 7y - 6
= x² + xy - x - 2y² + 7y - 6
= x² + (y - 1)x - (2y² - 7y + 6)
= x² + (y - 1)x - (2y - 3)(y - 2)
= {x + (2y - 3)}{x - (y - 2)}
= (x + 2y - 3)(x - y + 2)

함께 보면 좋은 글

인수분해, 인수분해 공식(고1)
인수정리를 이용한 인수분해
[중등수학/중3 수학] - 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
[중등수학/중3 수학] - 복잡한 식의 인수분해 2 - 항이 4개 이상일 때