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지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명에서 했던 글에 내용을 조금 더 추가했어요. 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱셈, 일의 자리 숫자가 같은 두 자리 자연수의 곱셈이었는데, 여기에는 한 가지씩 조건을 더 추가됐을 때, 베다수학을 이용해서 곱셈을 더 빨리할 수 있거든요.

증명하는 과정은 조금 귀찮을 수 있지만, 결론만 보면 정말 간단하니까 심심할 때 읽어보세요.

베다수학으로 곱셈 빨리하기

십의 자리 숫자가 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

77 × 73을 그림으로 설명해볼까요?

원리는 기본적으로 앞서 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명했던 것과 같아요. 사각형 하나를 옮겨서 큰 사각형 1개, 작은 사각형 1개의 넓이를 이용하는 거지요. 그런데 여기서 일의 자리 숫자 3과 7을 더하면 10이잖아요. 그래서 10의 자릿수를 하나 올려주는 거예요. 70 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80

사각형의 가로 길이가 간단해지는 효과를 얻었어요.

이번에는 그림이 아닌 수식을 이용해서 증명해보죠.

십의 자리가 같고 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수를 A = 10x + y, B = 10x + z(x ≠ 0인 자연수, y, z는 자연수, y + z = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
=10²x² + 10x(y + z) + yz
= 10²x² + 10²x + yz                   (∵y + z = 10)
= 10²x(x + 1) + yz

이게 식으로 증명하려니 조금 복잡해 보이는데, 제일 아래 줄만 보죠.

두 수 중 한 수의 십의 자리에 1을 더해서 다른 수의 십의 자리와 곱하고 거기에 두 수의 일의 자리 숫자를 연결 또는 합체(?)하면 된다는 거예요.

52 × 58을 계산해 볼까요? 두 수의 십의 자리 숫자가 5로 같고, 일의 자리 숫자를 더하면 10이죠? 2 + 8 = 10

십의 자리 숫자 5에 1을 더한 6에 십의 자리 숫자 5를 곱하면 6 × 5 = 30이에요. 여기에 일의 자리를 곱한 2 × 8 = 16을 연결하면 52 × 58 = 3016을 얻을 수 있어요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 십의 자리 숫자 5에 1을 더해줍니다. 5 + 1 = 6
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 6 × 5 = 30
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 2 × 8 = 16
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 30 & 16 = 3016

일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같고 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

두 자연수를 A = 10x + z, B = 10y + z(x, y ≠ 0인 자연수, z는 자연수, x + y = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + 10z(x + y) + z²
= 10²(xy + z) + z²       (∵ x + y = 10)

중간은 복잡하니까 마지막 줄만 볼까요.

두 수의 십의 자리를 곱하고 거기에 일의 자릿수를 더해요. 그리고 일의 자릿수를 제곱해서 연결 또는 합체(?)하는 거죠.

37 × 77을 풀어보죠.

두 수의 십의 자리를 곱하면 3 × 7 = 21인데 여기에 일의 자리 7을 더하면 28이에요. (3 × 7 + 7) = 28. 여기에 일의 자릿수의 제곱 7 × 7 = 49를 연결하면 2849가 나와요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 3 × 7 = 21
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 21 + 7 = 28
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 7 = 49
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 28 & 49 = 2849

다음 계산을 하여라.
(1) 81 × 89
(2) 19 × 99

(1)번은 십의 자리 숫자 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 십의 자리 숫자 8에 1을 더해줍니다. 8 + 1 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 9 × 8 = 72
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 1 × 9 = 09
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 72 & 09 = 7209

(2)번은 일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 1 × 9 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 9 + 9 = 18
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 9 × 9 = 81
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 18 & 81 = 1881

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지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명, 설명에서 베다수학이 성립하는 이유를 도형과 수식을 이용해서 증명해봤어요. 이제는 이 베다수학을 이용해서 실제 계산을 해보면서 어떻게 적용하는지를 알아보죠.

베다수학은 이제까지 해보지 않은 새로운 방식이라서 약간 낯설긴 하지만 익숙해지면 암산을 빨리할 수 있는 괜찮은 방법이에요. 다만 모든 경우에 다 활용할 수 있는 건 아니고 특별한 조건을 갖추었을 때만 사용할 수 있으니 그 점까지 함께 알아두시면 될 것 같네요.

베다 수학 실전 활용

베다수학을 이용해서 곱셈할 수 있는 경우는 몇 가지가 있는데요. 여기서는 십의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱, 일의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱 이렇게 두 가지 경우를 알아보겠습니다.

십의 자리 숫자가 두 자리 자연수의 곱

십의 자리 숫자가 7로 같은 두 수의 곱을 그림으로 표시해봤어요.

두 자릿수 두 개의 곱이니까 총 4개의 숫자가 있는데요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 77 + 3 = 80
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 70 = 5600
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 5600 + 21 = 5621

일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 37 + 70 = 107
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 107 × 7 = 749
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 30 × 70 = 2100
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 749 + 2100 = 2849

위에서 설명한 베다수학을 이용해서 다음 값을 구하여라.
(1) 57 × 53
(2) 86 × 46

(1)번은 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 57 + 3 = 60
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 60 × 50 = 3000
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 3000 + 21 = 3021

(2)번은 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이고요.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 86 + 40 = 126
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 126 × 6 = 756
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 40 = 3200
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 756 + 3200 = 3956

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뇌섹남들이 나오는 tvN 문제적 남자를 보는데, 탤런트 지주연이 나와서 인도 베다수학을 알려주더라고요. 전에 마이 리틀 텔레비전에서도 지주연이 한 번 얘기했던 적이 있고요.

저도 베다수학이 있다는 정도만 알고 있었는데, TV를 통해서 보니까 꽤 재미있더라고요. 그래서 그림이 아닌 다른 방식으로 한 번 설명해볼까 합니다.

기본적으로 곱셈은 바로 곱셈을 해도 되고, 중학교에서 공부하는 곱셈공식을 이용해서 풀 수도 있죠. 지주연이 알려주는 베다수학도 일종의 곱셈공식이라고 할 수 있어요.

인도 베다수학 증명

십의 자리 숫자가 같을 때

77 × 73을 이용해서 간단히 증명도 해주었습니다.

한 변의 길이가 77이고 다른 변의 길이가 73인 사각형의 넓이를 이용한 방법인데요. 우리가 일반적으로 계산하는 방식은 아래 그림에서 네 부분으로 나누어진 네 사각형의 넓이를 구해서 더하는 방식이죠.

77 × 73 = 7 × 3 + 70 × 3 + 7 × 70 + 70 × 70

그런데 인도 베다수학에서는 밑에 있는 사각형 하나를 옆으로 옮겨서 사각형을 두 개로 만들고 이 두 사각형의 넓이를 더해서 계산하네요.

77 × 73 = (77 + 3) × 70 + 7 × 3

따라서 사각형을 옮겨서 두 개의 큰 사각형으로 만들어야 하므로 이 방법은 십의 자릿수가 같아야 가능한 방법입니다. 박경이 얘기했던 것처럼요. 공식이 조금 달라지긴 하지만 일의 자리 숫자가 같을 때도 같은 원리로 가능합니다.

십의 자릿수가 같은 두 자리 자연수 A, B가 있다고 해보죠. 그렇다면 십진법의 전개식에 따라 A = 10x + y, B = 10x + z (x는 자연수, y, z는 0 또는 자연수)로 쓸 수 있죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
= 10x(10x + y + z) + yz
= 10x(A + z) + yz          (∵ A = 10x + y)

마지막 줄을 보면 공식을 얻을 수 있죠. 두 수 중 한 수에 다른 수의 일의 자릿수를 더해서 십의 자리를 곱하고, 거기에 일의 자리만 곱한 값을 더해주는 거예요.

77 × 73을 다시 풀어보죠.

한 수 77에 다른 수 73의 일의 자리를 더하면 77 + 3 = 80이잖아요. 이 80에 십의 자리인 70을 곱하면 5600이고, 여기에 두 수의 일의 자리를 곱한 7 × 3 = 21을 더하면 최종적으로 5621을 얻을 수 있어요.

일의 자리 숫자가 같을 때

이번에는 일의 자릿수가 같은 두 자리 자연수의 곱을 보죠.

일의 자릿수가 7로 같은 두 자리 자연수 37 × 77을 사각형의 넓이를 이용해서 나타냈어요.

한 사각형을 옆으로 옮기면 아래 그림처럼 바뀌고, 전체 넓이는 윗부분의 사각형의 넓이와 사각형 세 개가 합쳐진 큰 사각형의 넓이의 합으로 나타낼 수 있어요.

일의 자리가 같은 두 자리 자연수는 A = 10x + z, B = 10y + z (x, y는 자연수, z는 0 또는 자연수)로 나타낼 수 있죠?

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + z(10x + 10y + z)
= 10²xy + z(10x + B)       (∵ 10y + z = B)

마지막 줄의 공식을 말로 풀어보죠. 두 수 중 한 수에 다른 수의 십의 자리를 더해서 일의 자릿수를 곱하고, 거기에 십의 자리를 곱한 값을 더해줘요.

37 × 77을 풀어보죠.

한 수 37에 다른 수 77의 십의 자리를 더하면 37 + 70 = 107이고 여기에 일의 자릿수인 7을 곱하면 107 × 7 = 749이에요. 그다음 두 수의 십의 자리를 곱한 30 × 70 = 2100을 더하면 2849가 나와요.

글로 설명하니까 조금 복잡해 보일 수 있지만, 연습을 몇 번만 하면 정말 암산으로 쉽게 계산을 할 수 있을 것 같네요.

다음글 지주연이 알려주는 베다수학 2 - 실전편에서는 증명이 아니라 실제 식의 계산을 그림으로 표현해 보죠.

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