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근삿값을 표현하는 방법에 대해서 공부해볼꺼에요. 근삿값을 표현하는 방법을 많이 연습해봐야하고, 또 근삿값으로 표현된 수에서 그 의미를 찾는 방법도 연습을 많이 해야합니다.

근삿값과 유효숫자는 아주 밀접한 관계가 있으니까 유효숫자의 판별법을 모르면 안돼요.

근삿값 단원이 어려운 게 뭐냐면 앞에서 공부한 참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위, 유효숫자, 이 글에서 배울 근삿값의 표현이 모두 섞여서 한 문제로 나와요. 어느 하나라도 잘 모르면 풀기가 어렵겠지요. 각 용어들의 연관성과 구하는 방법에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

근삿값의 표현

근삿값을 표현할 때는 유효숫자를 소수로 바꾸고, 거기에 거듭제곱을 곱하는 형태로 표현합니다.

제일 먼저 유효숫자를 찾아야 겠죠.

유효숫자를 소수로 바꿀때는 규칙이 있어요. 첫번째 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지 유효숫자는 모두 소수점 뒤에 적어요. 일의 자리와 소수점 이하 자리의 숫자로만 표시하는 거죠. 어떤 경우에도 가장 앞에 있는 유효숫자가 0이 되는 경우는 없어요. 최소한 1이죠. 따라서 소수로 표현된 수는 1보다 크거나 같지요. 또 십의 자리 숫자는 없으므로 10보다는 작을 거고요.

그런데, 유효숫자로 만든 소수는 원래의 근삿값과 다르죠. 두 값을 같게 해주기위해서 10의 거듭제곱을 뒤에 곱해줘요.

1234라는 근삿값을 표현해보죠.

1. 유효숫자를 찾아요.
   1, 2, 3, 4의 네 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   1.234
3. 1.234 ≠ 1234이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   1234 = 1.234 × 10³

0.00506를 해보죠. 과정은 같아요.

1. 유효숫자를 찾아요.
   5, 0, 6의 세 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   5.06
3. 5.06 ≠ 0.00506이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   0.00506 = 5.06 ×

10의 거듭제곱에서 지수를 찾는 건 소수점을 몇 칸 이동하느냐로 찾아요. 원래 수에서 왼쪽으로 소수점을 세 칸 옮기면 10³, 원래 수에서 오른쪽으로 세 칸 옮기면 을 곱해주는 거죠.

근삿값 36800을 일의 자리에서 반올림해서 얻었다. 유효숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 나타내어라.

일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림받은 자리에요. 반올림받은 자리까지가 유효숫자죠. 따라서 유효숫자는 3, 6, 8, 0이에요.

가장 앞의 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고 나머지는 소수점 뒤에 쓰니까 3.680이에요. 3.680은 36800과 다르므로 10의 거듭제곱을 곱해줘야하는데, 소숫점을 원래 수에서 왼쪽으로 네 번 옮겼으므로 10⁴을 곱해줘야 합니다.

36800 = 3.680 × 10⁴

자를 이용해서 어떤 자동차의 길이를 재었더니 3.05 × 10²cm였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 유효숫자를 모두 구하여라.
(2) 길이를 재는데 사용한 자의 최소 눈금 단위는 얼마인가?
(3) 오차의 한계를 구하여라.
(4) 자동차 길이의 참값의 범위를 구하여라.

(1) 근삿값은 유효숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해요. 따라서 앞에 있는 소수 부분의 숫자가 모두 유효숫자지요. 3, 0, 5가 유효숫자에요.

(2) 측정값에서 유효숫자는 앞에서부터 최소 눈금 단위까지에요. 이걸 거꾸로 생각해보면 유효숫자의 마지막 숫자가 있는 단위가 최소 눈금 단위죠. 3.05 × 10² = 305cm 에서 마지막 유효숫자가 5이므로 5가 나타내는 단위인 1cm가 최소 눈금 단위에요.

(3) 오차의 한계는 최소 눈금 단위의 절반이에요. 1cm × ½ = 0.5cm

(4) 근삿값 - 오차의 한계 ≤ 참값의 범위 < 근삿값 + 오차의 한계 이므로 대입하면
(305 - 0.5)cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < (305 + 0.5)cm
304.5cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < 305.5cm

유효숫자라는 걸 공부할 거예요. 유효숫자가 무엇인지 또 어떤 숫자들이 유효숫자인지도요. 특히 0은 유효숫자인지 아닌 지 알아보기가 까다롭기 때문에 이 부분도 살펴볼 겁니다.

유효숫자는 오차의 한계와 구하는 방법이 비슷하기때문에 둘을 함께 비교하면서 공부하면 좋아요. 그래야 외우기도 쉽고, 헷갈리지 않아요.

유효숫자는 다음에 공부할 근삿값의 표현에서 꼭 필요하기때문에 정확히 알아야 해요.

유효숫자

유효숫자는 믿을 수 있는 숫자에요. 근삿값을 사용하다보면 오차가 생기기때문에 근삿값의 모든 숫자가 다 정확한 건 아니에요. 하지만 오차를 고려하더라도 몇 개는 신뢰할 만한 숫자가 있는데, 그게 바로 유효숫자에요

일반적으로 백화점에서 49,800원짜리 옷을 하나 산 후에 누군가 옷의 가격을 물어보면 "50,000원에 샀어"라고 얘기합니다. 실제는 49,800원인데 50,000원 줬다고 얘기하면 둘 사이에 200원이라는 오차가 생기죠. 오차는 200원이니까 100원 단위를 틀리게 말할 수 있지만, 만원 단위, 천원 단위까지 틀리게 말하는 건 아니잖아요. 이 경우에는 만원 단위인 5와 천원 단위인 0의 두 숫자는 믿을 수 있는 숫자로 유효숫자에요.

유효숫자는 이름 그대로 숫자로 표현합니다. 단위는 무시해요. 위 경우에서 유효숫자는 5만과 0천이 아니라 5, 0입니다.

유효숫자를 구하는 방법

어떤 숫자를 일의 자리에서 반올림한다고 해보죠. 일의 자리에서 반올림을 하면 일의 자리 숫자는 그냥 그대로 버리고 0으로 쓰죠. 따라서 일의 자리 숫자 0은 원래의 의미가 없어져버려서 믿을 수 없는 숫자가 되버려요.

십의 자리 숫자는 그대로 이거나 +1이 되고, 그 외의 숫자는 그대로죠. 이런 숫자들은 조금씩 바꿀 수는 있겠지만 그 의미까지 완전히 없어졌다고 보기는 힘들겠죠? 따라서 이런 숫자들은 믿을 수 있는 유효숫자로 할 수 있어요.

십의 자리에서 반올림한다면 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 그냥 버려서 0이 되니까 의미가 없어지고, 백의 자리 숫자와 그 이의의 숫자는 모양은 바뀔 수 있지만 신뢰할 수 있는 유효숫자에요.

반올림을 할 때는 반올림을 받은 자리까지의 숫자가 유효숫자에요.

어떤 도구를 이용해서 측정한 값도 근삿값이므로 오차가 생기고, 거기에도 유효숫자라는 게 있어요.

측정값에서의 유효숫자는 최소 눈금 단위의 숫자까지 입니다. 최소눈금 단위 아래의 숫자는 그냥 버리잖아요. 1cm눈금이 있는 자로 물건을 잴 때는 9cm, 10cm 이렇게 재지, 9.6cm, 10.3cm 이렇게 하지 않잖아요.

유효숫자는 오차의 한계와 관련성을 이용해서 외우는 게 좋아요.

일의 자리에서 반올림해서 얻은 1110이라는 근삿값에서 유효숫자를 찾아볼까요? 일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림을 받은 자리고, 앞에서부터 십의 자리까지의 모든 숫자가 유효숫자에요. 1, 1, 1 이죠. 여기서 1이 세 개라고 해서 1을 하나만 쓰면 안돼요. 중복되는 숫자가 있더라도 모두 써주야 합니다. 유효숫자는 1 하나가 아니라 1, 1, 1 이렇게 세 개입니다.

다음에서 유효숫자를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(2) 백의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(3) 최소 눈금 단위가 1cm인 자로 잰 100cm
(4) 최소 눈금 단위가 10cm인 자로 잰 100cm

유효숫자는 반올림 받은 자리까지 그리고 최소 눈금 단위까지의 숫자가 모두 유효숫자에요. 그 아래의 숫자는 유효숫자가 아니죠.

(1) 십의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 백의 자리에요. 앞에서부터 백의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리인 1, 천의 자리인 2, 백의 자리인 0 세 숫자가 유효숫자에요. 답은 1, 2, 0네요. 1 2 0 0 0

(2) 백의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 천의 자리에요. 앞에서부터 천의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리 1, 천의 자리 2이 유효숫자에요. 답은 1, 2입니다. 1 2 0 0 0

(3) 최소 눈금 단위가 1cm이므로 앞에서부터 1cm 단위까지가 유효숫자에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0, 일의 자리 0 세 수가 모두 유효숫자에요. 1, 0, 0이 답이네요. 1 0 0

(4) 최소 눈금 단위가 10cm이므로 앞에서부터 10cm 단위까지만 유효숫자이고, 그 아래 숫자는 유효숫자가 아니에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0은 유효숫자고, 마지막 일의 자리 0은 유효숫자가 아닙니다. 1, 0이 답이에요. 1 0 0

유효숫자 판별

근삿값을 구한 다음에 유효숫자를 판별하는 방법은 위 과정으로 하면 됩니다.

그런데, 어떤 방법으로 유효숫자를 구했는지 모른 체 그냥 근삿값만 알려준 경우에는 유효숫자를 구하기가 까다롭죠. 특히 다른 숫자들은 괜찮은데 0이 문제에요.

어느 자리에서 반올림 했는 지는 모르는 근삿값 1200이라는 숫자가 있다고 해보죠. 여기서 십의 자리 0을 보세요. 원래 숫자가 0이었는지, 원래는 9였는데 일의 자리에서 반올림을 받아서 0이 된 거지, 십의 자리에서 반올림을 하고 버려서 0이 되었는 지 알 수가 없지요.

이럴 때 십의 자리 0이 유효숫자인지 아닌 지 알아볼 수 있는 방법이 있어야겠죠?

• 유효숫자
  0이 아닌 모든 숫자
  0이 아닌 숫자 사이에 있는 0 - 2013, 1.05
  소수에서 뒤에 있는 0 - 1.40
• 유효숫자 인지 아닌 지 알 수 없는 경우
  정수의 끝에 있는 0 - 30, 100
• 유효숫자가 아닌 경우
  소수에서 자릿수를 표시하는 0 - 0.002

다음 중 유효숫자의 개수가 다른 것을 고르시오.
(1) 1301     (2) 1031     (3) 1.010     (4) 0.101

0이 아닌 모든 숫자는 유효숫자에요. 0이 아닌 숫자 사이에 있는 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 소수에서 자릿수를 표시하기 위해 사용하는 0은 유효숫자가 아니에요.

(1) 1301은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 3과 1 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개네요.

(2) 1031은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 1과 3 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개입니다.

(3) 1.010은 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있어요. 또 1과 1 사이의 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 따라서 유효숫자는 4개에요.

(4) 0.101에서 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있고요. 1과 1 사이의 0도 유효숫자에요. 하지만 소수점 앞에 있는 0은 소수라는 걸 알려주기 위한 0이므로 유효숫자가 아니에요. 유효숫자는 3개입니다.

따라서 답은 유효숫자가 3개인 (4)번이 되겠네요.

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