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사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

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이번에는 마름모입니다. 마름모는 다 알잖아요. 다이아몬드처럼 생긴 거. 보통 그렇게 그리잖아요. 직사각형과 마찬가지로 마름모의 정의와 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건을 알아보죠. 또 각 내용을 증명해보고요.

평행사변형, 직사각형, 마름모가 나오면서 각 사각형의 정의와 성질, 조건이 헷갈릴 수 있어요. 주의해서 보세요. 앞으로도 더 많은 사각형이 나오니까 벌써 헷갈리기 시작하면 안 돼요.

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형으로 정의해요.

네 변의 길이가 모두 같으니까 마주 보는 대변의 길이도 같겠죠? 평행사변형이 되는 조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 했어요. 그러니까 마름모도 평행사변형이에요

직사각형도 평행사변형의 한 종류였죠? 마름모도 평행사변형의 한 종류에요. 하지만 직사각형과 마름모 사이에는 아무런 관계가 없으니까 주의하세요.

마름모의 성질

마름모는 평행사변형의 한 종류라서 평행사변형의 성질을 모두 가져요. 여기에 하나가 추가됩니다.

평행사변형의 성질은 세 가지가 있었어요.

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

마름모는 두 대각선이 서로 수직이등분해요. 평행사변형에서는 대각선이 서로 이등분만 했는데, 마름모는 여기에 수직으로 이등분합니다.

두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

마름모의 대각선이 서로 수직이등분하는 것을 증명해보죠. 마름모는 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 대각선은 서로 이등분하죠. 이등분하는 건 알고 있으니까 여기서는 두 대각선이 서로 수직인지만 증명하면 돼요.

마름모에 대각선을 그었어요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠.

△OAB와 △OAD를 보세요.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으니까  = ……… (1)

마름모는 평행사변형이므로 대각선은 다른 대각선을 이등분해요.  = ……… (2)

는 공통이죠. ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응각인 ∠AOB = ∠AOD가 되는데, 두 각의 합은 평각인 180°에요. 크기가 같은 두 각의 합이 180°니까 ∠AOB = ∠AOD = 90°가 됩니다.

따라서 입니다.      (증명 끝.)

마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 평행사변형의 한 종류
마름모의 성질: (평행사변형의 성질) + 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

평행사변형이 마름모가 되는 조건

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같아요. 그런데 바로 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아지는 거예요. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 정의했으니까 이 경우에 평행사변형이 마름모가 되는 거죠.

두 대각선이 서로 직교한다.

마름모의 성질 중에 두 대각선을 서로 다른 것을 수직이등분한다고 했죠? 증명할 때는 두 대각선이 직교하는 것만 증명했어요. 이걸 거꾸로 하면 바로 마름모가 되는 조건이 되는 겁니다.

평행사변형의 두 대각선이 직교하면 마름모가 되는지 증명해볼까요? △OAB와 △OAD를 보세요.

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하니까  = 에요. ……… (1)

두 대각선이 직교한다고 했으니 ∠AOB = ∠AOD = 90° ……… (2)

는 공통 ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응변인  = 죠. 평행사변형의 두 쌍의 대변은 길이가 같으므로 인데,  = 라고 했으니까 결국 네 변의 길이가 모두 같아요.

따라서 평행사변형의 두 대각선이 직교하면 이 평행사변형은 마름모가 됩니다.     (증명 끝.)

평행사변형이 마름모가 되는 조건
1. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
2. 두 대각선이 서로 직교한다.

□ABCD가 평행사변형이고, 각의 크기가 그림과 같을 때 ∠ACD의 크기를 구하여라.

조금 어려운 문제일 수 있어요.

□ABCD가 평행사변형이므로 ∠CAD = ∠ACB = 50°가 돼요. (엇각)
그러면 △OBC에서 두 내각의 크기가 40°, 50°이므로 ∠BOC = 90°가 되지요.

두 대각선의 교각이 90°니까 두 대각선은 서로 수직이등분합니다. 즉 이 평행사변형은 그냥 평행사변형이 아니라 마름모인 거죠.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 △BCD는 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질에서 두 밑각은 크기가 같다고 했잖아요. 따라서 ∠DBC = ∠BDC = 40°가 됩니다. ∠BCD = 180° - 80° = 100°인데, ∠ACB = 50°이므로 ∠ACD = 50°가 됩니다.

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