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곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.

곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.

곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형 - 제곱의 합

곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² - 2ab = a² + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)² + 2ab = a² + b²

첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab

곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.

변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?

어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x² + y²을 구하여라.

합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)² = a²+ 2ab + b²이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?

5² = x² + 20 + y²
x² + y² = 25 - 20
x² + y² = 5

곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱

변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a² + b²예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.

(a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.

새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.

x + y = 4, x² + y² = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)²

두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)² = x² + 2xy + y²이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.

(1) 4² = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3

(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)² = x² - 2xy + y²이죠. 대입하면
(x - y)² = 10 - 2 × 3
(x - y)² = 10 - 6
(x - y)² = 4

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곱셈공식 - 완전제곱식
곱셈공식 - 합차공식 외
등식의 변형

등식의 변형은 등식의 성질과 이항을 이용해서 등식의 모양을 바꾸는 걸 말해요. 이항이라는 게 어차피 등식의 성질을 응용한 것이니까 등식의 성질만 잘 알고 있어도 되죠.

1학년 때 해봤던 대입도 다시 공부할 거니까 기억나지 않는다면 대입, 식의 값을 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 한 문자에 대하여와 한 문자에 대한 식을 공부할 건데, ~ 대하여와 ~ 대한 식이라는 글자에 따라 의미가 엄청나게 달라지니까 잘 구별해야 합니다.

등식의 변형을 잘 이용하면 거리, 속력, 시간처럼 같은 내용으로 이루어진 모양이 비슷한 공식도 쉽게 외울 수 있어서 상당히 도움이 많이 되는 내용이에요.

등식의 변형

식의 대입

1학년 때 대입과 식의 값을 공부했어요. 대입은 대신 넣는 거고, 식의 값은 문자에 특정한 값을 대입해서 얻은 결과를 말해요. a = 3을 a + 2에 대입하면 3 + 2 = 5라는 식의 값을 얻었죠?

여기서 공부할 대입은 식의 문자에 일정한 값을 대입하는데, 대입하는 값이 숫자가 아니라 다항식이에요.

x = 3a + 5를 2x + 3에 대입해보죠. 대입하면 x를 3a + 5로 바꾸는 거예요.

2x + 3
= 2(3a + 5) + 3      ∵ 식의 대입
= 6a + 10 + 3         ∵ 분배법칙
= 6a + 13             ∵ 식의 값

식을 대입할 때는 괄호를 꼭 넣어야 해요. 만약 위의 계산 과정에서 괄호를 넣지 않는다면 어떻게 될까요?

2x + 3
= 2 × 3a + 5 + 3
= 6a + 8

괄호를 있을 때와 괄호가 없을 때의 식의 값이 달라지죠? 괄호를 넣지 않으면 답을 틀리게 돼요.

한 문자에 대하여

"한 문자에 대하여"와 "한 문자에 관하여"는 같은 말이라는 걸 미리 얘기해 둘께요.

일차방정식을 풀 때 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항했죠? 그리고 마지막에 x의 계수로 양변을 나눠줬어요. 이렇게 하는 걸 문자 x에 대하여 푼다고 해요.

x에 대하여 푼다는 건 좌변에는 x만 남기고 그 이외의 문자와 숫자들은 모두 우변으로 이항하는 거예요. 만약에 y에 대하여 푼다고 한다면 y가 있는 항을 좌변, 그 외의 항을 우변으로 이항하는 거고요.

x에 대하여 푼다. → x = (x가 없는 항) + 상수항
y에 대하여 푼다. → y = (y가 없는 항) + 상수항

이때 좌변에 있는 문자의 계수는 1이 되어야 해요. 또 정해진 문자를 제외한 모든 문자는 숫자 취급해요.
2x = 4y + 2 (X)
x = 2y + 1 (O)

첫 번째는 x의 계수가 2라서 틀린 거고, 세 번째는 x의 계수가 y라서 틀렸어요. 양변을 각각 2와 y로 나눠준 두 번째, 네 번째 식이 맞아요.

한 문자에 대하여 풀 때는 등식의 성질을 이용해요.

1. 해당 문자가 들어있는 항은 좌변으로, 나머지 항은 모두 우변으로 이항
2. 해당 문자의 계수로 양변을 나눈다.

x + 2y - 4 = 10을 x에 대하여 풀어보죠. x가 있는 항만 좌변, x가 없는 항은 우변으로 이항해요.

x + 2y - 4 = 10
x = -2y + 4 + 10
x = -2y + 14

다음 식을 a에 대하여 풀어라.
(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
(2) 2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8

a에 대하여 풀라고 했으니 a = (a가 없는 항)의 꼴이 되어야 해요.

(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
3a - 6a = b - 3 + 2b
-3a = 3b - 3
a = -b + 1

(2)는 괄호가 있으니 분배법칙으로 먼저 괄호를 풀어야 해요.
2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8
2a + 6b - 6a + 3b = b + 8
-4a + 9b = b + 8
-4a = b + 8 - 9b
-4a = -8b + 8
a = 2b - 2

윗변의 길이가 a, 밑변의 길이가 b, 높이가 h인 사다리꼴의 넓이를 S라고 할 때, a, b, h, S의 관계식을 높이 h에 대하여 풀어라.

높이 h에 대하여 풀면 h = (……………)의 꼴이니까 h는 좌변으로, h가 아닌 다른 문자는 모두 우변으로 보내야 해요. 넓이 식을 써보면 문자가 계수처럼 되어있는데, 여기서 h가 아닌 문자는 모두 숫자 취급해서 처리합니다.

참고로 는 좌변에 S만 있으니까 S에 대하여 풀어서 나타낸 거예요.

거리, 속력, 시간에 관한 공식은 세 가지가 있어요. 세 개를 외우는 건 정말 헷갈려요. 이럴 때는 공식을 하나만 외우세요. 거리를 s, 시간을 t, 속력을 v라고 할게요.

만 외웠다고 해보죠.

그럼 거리 s는 어떻게 구하나요? 위 식을 s에 대하여 풀면 돼요. 위 식의 양변에 t를 곱해보면 vt = s가 되네요.

이번에는 시간 t를 구해보죠. t에 대하여 풀면 되겠죠? vt = s에서 양변을 v로 나눠주면 t = s ÷ v가 돼요.

이뿐만 아니라 소금물의 농도 구하는 공식도 둘 중 하나만 외우면 같은 방법으로 다른 값을 구하는 공식을 만들어 낼 수 있어요. 헷갈리는 공식도 다 외우면 좋지만, 굳이 헷갈리면서까지 외우기보다는 하나만 완전히 외우고 나머지는 이런 방법으로 구할 수 있다는 것도 알아두세요.

한 문자에 대한 식

"한 문자에 대한"과 "한 문자에 관한"은 같은 말이에요.

한 문자에 대한 식은 어떤 식을 해당 문자와 상수항만으로 표현하는 걸 말해요. 그러니까 주어진 문자를 제외한 문자를 모두 없애야 하는 거죠.

없애려고 하는 문자에 식을 대입하면 해당 문자는 없어지잖아요. 이걸 이용하는 거예요. y를 없애려면 y = (………) 식을 y자리에 대입하는 거죠.

x + y = 3일 때, 2x + 3y + 6을 x에 대한 식으로 나타낸다고 해보죠. 순서를 잘 보세요.

1. x + y = 3을 y에 대하여 풀어서 정리
   y = - x + 3
2. ①식을 2x + 3y + 6에 대입
   2x + 3(-x + 3) + 6
3. ②식을 전개하여 정리
   2x + 3(-x + 3) + 6
   = 2x - 3x + 9 + 6
   = -x + 15

한 문자에 대한 식의 문제에서는 식이 2개 이상 나와요. 한 문자로 나타낼 식과 다른 문자를 제외할 수 있도록 대입할 수 있는 식이요.

x - y = 6일 때 다음을 구하여라.
(1) 2x + 3y + 7을 x에 대한 식으로 나타내어라.
(2) 2x + 3y + 7을 y에 대한 식으로 나타내어라.

어떤 식을 한 문자에 대한 식으로 나타내려면 주어진 문자가 아닌 문자는 모두 없애야 해요. 이때 없앨 문자에 대하여 식을 정리해서 대입합니다.

(1)에서는 x에 대한 식이므로 x와 상수항만 남기고 y를 지워야 해요. 주어진 식을 y에 대하여 풀어서 대입해야겠네요.
x - y = 6
-y = -x + 6
y = x - 6

2x + 3y + 7
= 2x + 3(x - 6) + 7
= 2x + 3x - 18 + 7
= 5x - 11

(2)에서는 y에 대한 식이므로 y와 상수항만 남기고 x를 지워야 해요. 주어진 식을 x에 대하여 풀어서 대입해야겠군요.
x - y = 6
x = y + 6

2x + 3y + 7
= 2(y + 6) + 3y + 7
= 2y + 12 + 3y + 7
= 5y + 19

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