수학방

삼각비를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요.

삼각형의 넓이 공식 모르는 사람 없죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

물론 이건 높이를 알고 있을 때 쓰는 공식이에요. 예각삼각형의 높이, 둔각삼각형의 높이에서도 해봤지만, 삼각비에는 변의 길이와 내각의 크기를 알려주지, 삼각형의 높이는 알려주지 않거든요. 주어진 내용을 가지고 삼각형의 높이를 구해서 위 공식에 대입해야 합니다.

두 변의 길이와 끼인각을 알려줬을 때 높이를 구하는 것부터 넓이를 구하는 것까지 해보고 공식으로 정리해보죠.

예각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요.

예각삼각형의 높이에서 예각삼각형의 높이를 구할 때는 길이를 알고 있는 한 변과 크기를 알고 있는 각이 같은 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요.

△ACH에서

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

문제에서 알려준 걸 다 곱하면 되는 겁니다. 두 변의 길이를 곱하고, 거기에 크기를 알려준 각의 sin값을 곱해요. 삼각형의 넓이니까 그 절반으로 하는 거죠.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 예각삼각형의 넓이는 에요.

둔각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요

둔각삼각형의 높이에서는 크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 높이를 구한다고 했어요.

△ACH만 보세요. sin을 이용해서 높이를 구해야 하는데, 기준각인 CAH는 180° - ∠A에요. 따라서 높이는 아래처럼 구할 수 있어요.

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

예각삼각형의 넓이 구하는 공식과 같아요. 차이가 있다면 A가 아니라 180° - ∠A라는 거지요.

삼각형의 넓이는 알려준 길이 두 개와 각을 곱해요. 각은 그대로 곱하지 않고 sin값을 곱하죠. 그런데 우리는 0° ~ 90°까지의 삼각비밖에 안 배웠어요. 그러니까 sin을 구할 각의 크기는 예각이어야 해요. 예각이 아니라면(둔각이면) 180°에서 각을 빼서 예각을 만들어서 공식에 넣으면 돼요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 둔각삼각형의 넓이는 에요.

함께 보면 좋은 글

삼각비, sin, cos, tan
특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
직각삼각형 변의 길이 - 삼각비 이용
일반 삼각형 변의 길이 구하기
예각삼각형의 높이 - 삼각비
둔각삼각형의 높이 - 삼각비의 활용
사각형의 넓이 공식 - 삼각비의 활용

삼각비의 활용 - 예각삼각형의 높이에 이어 둔각삼각형의 높이 구하기입니다.

둔각삼각형의 높이 구하기도 예각삼각형의 높이 구하기와 크게 차이는 없어요. 높이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 두 변의 길이와 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때지요.

특히, 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선이 삼각형의 바깥쪽에 그려지는 것만 빼면 예각삼각형의 높이를 구하는 방법과 완전히 같아요.

이 글에서는 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때에 주의해서 보시면 됩니다.

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선을 내리는데, 수선은 삼각형의 바깥쪽에 그어지게 됩니다. 크기를 모르는 각 중 하나에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내리면 돼요. 이때 생기는 작은 직각삼각형을 이용해서 삼각형의 높이를 구할 거예요.

둔각삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때에요. 각의 크기를 모르는 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 

가 △ABC의 높이에요.

를 구하려면, 원래 있던 △ABC는 볼 필요 없고요. 새로 그은 수선 때문에 생긴 △ABH만 보면 돼요. △ABH에서는 c와 h가 들어있는 삼각비를 이용하면 되겠죠?

대신 기준각이 원래 있던 각이 아니라 새로 생긴 각이에요. ∠ABH죠. ∠CBH가 평각이므로 ∠ABH = 180° - ∠B로 구할 수 있어요.

다음 그림에서 a = 5cm, c = 6cm, ∠B = 120°일 때, △ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 위 그림을 보세요. 가 높이에요. ∠ABH = 180° - 120° = 60° 고요.

△ABH에서

한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

여기서도 마찬가지로 보조선을 그어야 해요. 수선을 그어야하는데 어디에 그어야 하나면 각의 크기를 모르는 꼭짓점에서 길이를 아는 변의 연장선으로 수선을 내려요. 그러면 작은 직각삼각형 한 개와 큰 직각삼각형 한 개가 만들어져요. 이 두 직각삼각형의 내각의 크기를 구해서 tan를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요. 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형 두 개가 보이죠? 새로 생긴 큰 직각삼각형의 밑변에서 새로 생긴 작은 직각삼각형의 밑변을 빼면 원래 삼각형의 한 변의 길이가 되는 걸 알 수 있어요.  이걸 이용합니다.

이제부터 원래 있던 △ABC는 생각하지 마세요. 큰 직각삼각형 △ACH와 작은 직각삼각형 △ABH만 생각하면 됩니다.

먼저 큰 직각삼각형 △ACH를 보세요. 삼각형 내각의 합에 의해서 ∠CAH = 180° - 90° - ∠C = 90° - ∠C에요.

이제 작은 직각삼각형 △ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - ∠B에요. 그리고 ∠BAH = 180° - 90° - (180° - ∠B) = ∠B - 90°죠.

에 위에서 구한 와 처음에 알려준 의 값을 대입하면 높이 를 구할 수 있어요.

아래 그림에서  = 4cm, ∠B = 120°, ∠C = 45°일 때 ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하지요. (위 그림 참조.)

△ACH에서 ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°이므로

△ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - 120° = 60°, ∠BAH = 90° - 60° = 30° 이므로 

함께 보면 좋은 글

삼각비, sin, cos, tan
특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
직각삼각형 변의 길이 - 삼각비 이용
일반 삼각형 변의 길이 구하기
예각삼각형의 높이 - 삼각비
삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이