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이번에는 원이 두 개일 때, 두 원의 접선과 현이 이루는 각에 대해서 알아볼 거예요.

두 원과 접선의 관계부터 따져보죠. 두 원의 위치관계는 총 여섯 가지가 있어요. 여기서 다룰 내용은 그중에서도 내접과 외접 두 경우입니다. 접선은 두 원의 접점을 지나는 공통접선이에요. 두 원의 접점이 아닌 다른 곳을 지나는 접선은 다루지 않아요.

두 원과 접선의 세 도형이 한 점에서 만날 때, 접선과 현이 이루는 각의 특징에 대해서 알아보죠. 도형을 많이 그리기 때문에 조금 복잡할 수 있어요. 주의해서 잘 보세요.

두 원에서 접선과 현이 이루는 각

두 원이 외접할 때

두 원이 외접할 때, 접점을 지나는 접선과 현이 이루는 각들을 표시한 그림이에요.

위 그림에서 총 세 가지를 알 수 있어요. 첫 번째는 크기가 같은 각들이에요. 각의 수가 많은데 헷갈리지 않도록 주의하세요. 그다음은 평행한 직선이고, 세 번째는 닮은 삼각형이에요. 크기가 같은 각들의 위치만 정확히 알면 되는데요. 혹시 외우기가 어려우면 두 번째, 세 번째 내용을 이용해서 찾을 수도 있어요.

위 세 가지를 증명해보죠. 공통접선, 현이 만나서 생기는 각에 번호를 붙여봤어요.

가운데 복잡한 부분에서 크기가 같은 각들을 찾아보죠.

② = ⑤ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(1)
① = ④ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(2)
③ = ⑥ (와 가 만나서 생기는 맞꼭지각) ………(3)

이번에는 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각을 찾아볼까요?

① = ⑧ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(4)
③ = ⑦ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(5)
④ = ⑨ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(6)
⑥ = ⑩ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(7)

(1)에 의해 ② = ⑤
(2)와 (4), (6)에 의해서 ① = ④ = ⑧ = ⑨
(3)과 (5), (7)에 의해서 ③ = ⑥ = ⑦ = ⑩

크기가 같은 모든 각을 찾았어요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 엇각 ⑦과 ⑩이 같아요. 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

마지막으로 중요한 건 아닌데 그래도 알고 넘어가면 좋은 것 하나 추가 하자면요. △TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이에요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x°, y°의 값을 구하여라.

△TCD에서 삼각형 내각의 합 = 180°이므로 ∠TDC = 180° - (67.5° + 45°) = 67.5°

이므로 평행선에서 엇각에 의해 ∠TAB = ∠TCD에서 x° = 45°. ∠TBA = ∠TDC에서 y° = 67.5°

두 원이 내접할 때

두 원이 내접할 때, 두 원의 접점을 지나는 접선과 원의 현이 이루는 각이에요. 여기서도 역시 크기가 같은 각들의 위치가 중요해요. 두 원이 외접할 때보다는 각의 개수도 적고 위치도 알기 쉽게 되어 있네요.

그리고 평행한 현이 있다는 것과 닮은 삼각형이 있다는 것도 알 수 있어요.

접선과 현이 이루는 각에 번호를 매겼어요.

여기는 맞꼭지각이 없으니 접선과 현이 이루는 각에 의해 크기가 같아지는 각부터 찾아보죠.

① = ⑥ (호 AT를 포함하고 있는 각과 호 AT에 대한 원주각) ………(1)
② = ⑤ (호 BT를 포함하고 있는 각과 호 BT에 대한 원주각) ………(2)
① = ④ (호 CT를 포함하고 있는 각과 호 CT에 대한 원주각) ………(3)
② = ③ (호 DT를 포함하고 있는 각과 호 DT에 대한 원주각) ………(4)

(1), (3)에 의해서 ① = ④ = ⑥
(2), (4)에 의해서 ② = ③ = ⑤

총 여섯 개의 각 중에서 크기가 같은 각이 세 개씩 있네요.

와 의 두 선분과 가 만나서 생기는 동위각 ③과 ⑤가 같아요. 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이 되므로 가 됩니다. (평행선의 성질)

△TAB와 △TCD에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이지요. △TAB ∽ △TCD

다음 그림을 보고, x, y의 값을 구하여라.

이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠TDC = ∠TBA, 즉 ∠x = ∠y죠.

접선과 현이 이루는 각에 의해 ∠PTA = ∠x이므로 x = y = 67.5(°)

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두 원의 위치관계, 내접, 외접에서 내접과 외접이라는 용어와 그 뜻을 알아봤어요. 원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 접선이라는 걸 알아봤고요.

두 원이 있을 때 두 원에 모두 접하는 선이 있을 수 있겠지요? 이 글에서는 이처럼 두 개의 원에 공통으로 접하는 접선과 그 종류에 대해서 알아볼 거예요.

그리고 두 원에 공통으로 접하는 접선이 두 원의 위치관계에 따라 어떻게 바뀌는 지와 그러한 접선이 몇 개나 생기는지도 알아볼 거고요.

공통접선

접선은 접선인데 두 원에 공통으로 접하는 접선을 공통접선이라고 해요.

접선은 접점에서 원의 반지름에 수직이라고 했어요. 따라서 공통접선은 두 원 모두에 수직이죠.

두 원이 공통접선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때의 접선은 공통외접선, 두 원이 접선을 기준으로 반대방향에 있으면 공통내접선이라고 해요. 두 원 사이를 지나는 접선이 공통내접선이고 그게 아닌 게 공통외접선이죠.

아래 그림은 두 원의 위치관계에 맞게 공통접선을 그린 그림이에요. 파란색은 공통외접선, 빨간색은 공통내접선이에요.

첫 번째 그림에서 파란색의 공통접선 l을 기준으로 두 원이 모두 오른쪽에 있지요? 또 두 번째 그림에서 두 원이 모두 공통접선 m보다 아래쪽에 있어요. 이처럼 두 원의 공통접선을 기준으로 같은 방향에 있으니까 이 공통접선은 공통외접선이에요.

왼쪽 아래의 세 번째 그림에 보면 빨간색 n이라는 공통접선이 있죠? 이 공통접선 n을 기준으로 작은 원은 공통접선의 왼쪽에 큰 원은 공통접선의 오른쪽에 있어요. 둘이 반대방향에 있죠? 그래서 이 공통접선은 공통내접선이 되는 거예요. 아니면 큰 원과 작은 원 사이를 지나니까 공통내접선이라고 생각해도 돼요.

공통접선, 공통내접선, 공통외접선의 개수는 두 원의 위치관계에 따라 달라져요. 작은 원이 큰 원의 안에 있다가 점점 바깥으로 움직인다고 생각하고 그 순서대로 구해보죠.

두 원의 위치관계에는 총 6가지가 있었어요. 그중에 만나지 않는 경우인 내부에 있을 때와 동심원일 때는 공통접선이 없어요. 그래서 위 그림과 표에는 4가지만 있는 겁니다.

두 원의 위치관계와 마찬가지로 그 개수를 외우려고 하지는 마세요. 그냥 그림을 보고 (혹은 그림을 상상하고) 공통접선을 그리고, 공통내접선인지 공통외접선인지 구별할 줄 알면 돼요.

반지름의 길이가 5cm, 8cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 공통접선은 몇 개인지 구하여라.
(1) d = 1cm
(2) d = 11cm
(3) d = 21cm
(4) d = 13cm

공통접선이 몇 개인지 구하려면 두 원의 위치관계부터 알아야겠죠? 두 원의 위치관계를 알아볼 때는 먼저 두 원의 반지름의 합과 차를 구하면 쉽다고 했어요. 두 원의 반지름의 합은 5cm + 8cm = 13cm, 반지름의 차는 8cm - 5cm = 3cm네요.

(1) 번은 d = 1cm로 반지름의 차보다 작아요. 중심거리가 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원의 내부에 있는 경우이고, 이때는 공통접선이 없어요. 따라서 0개에요.

(2) 번은 d = 11cm로 반지름의 차와 합 사이에 있네요. 이때는 두 점에서 만나는 경우로 공통외접선만 2개가 있어요.

(3) 번은 d = 21cm로 반지름의 합보다 크니까 두 원은 외부에 있는 경우이죠. 이때는 공통내접선이 2개, 공통외접선이 2개 해서 총 4개의 공통접선이 있어요.

(4) 번은 d = 13cm로 반지름의 합과 같네요. 이때는 외접하는 경우로 공통내접선 1개, 공통외접선 2개, 총 3개의 공통접선을 가져요.

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위치관계 또 나오네요.

이번에는 두 원의 위치관계에요.

위치관계 마지막이니까 정신 바짝 차리고 따라오세요.

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서 했던 것처럼 두 원이 어떤 관계가 있는지 그때 반지름과 두 원 사이의 거리는 어떻게 되는지 알아보죠.

또, 외접과 내접이라는 용어도 나오는데, 어떤 용어인지 그 뜻도 알아보자고요.

두 원의 위치관계

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 원의 반지름과 원과 직선 사이의 거리를 이용해서 위치관계를 알아봤죠?

이번에도 같은 방법으로 두 원의 위치관계를 알아볼 꺼에요. 원과 원 사이의 거리는 두 원의 중심 사이의 거리(중심거리)를 이용하고, 두 원의 반지름은 모두 이용합니다. 정확히 말하면 반지름의 합과 차를 이용해요.

두 원을 각각 O, O'이라고 해볼까요? 그리고 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 해보지요.

두 원의 위치관계 - 두 점에서 만나는 경우

첫 번째로 두 원이 두 점에서 만나는 경우가 있어요. 원이 두 점에서 만난다는 얘기는 서로 겹친다는 거지요? 두 원이 서로 겹치려면 작은 원의 반지름보다 가까운 거리에서 만나야 해요. 그래서 두 원의 반지름을 더한 값이 중심거리보다 커야 하지요. r + r' > d가 되어야 해요.

그럼 r + r' > d만 되면 될까요? 자 (5)번 그림을 한 번 보세요. (5)번은 r + r' > d에요. 그런데 두 점에서 만나지 않죠? 따라서 두 점에서 만나는 경우에는 r + r' > d말고 다른 조건이 또 필요해요. 어떤 조건이냐면 r' - r < d라는 조건이에요. 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 작아야 한다는 거에요.

결과적으로 두 원이 두 점에서 만나려면 r' - r < d < r + r'가 되어야 해요.

두 원의 위치관계 - 한 점에서 만나는 경우, 내접, 외접

두 번째는 두 원이 한 점에서 만나는 경우예요. 한 점에서 만나는 경우는 두 가지가 있는데, 하나는 (2)번처럼 작은 원이 큰 원의 바깥에 있으면서 한 점에서 만나는 경우가 있어요. 이때는 두 원의 반지름을 더한 것이 중심거리와 같은, r + r' = d가 되어야 해요. 이때를 서로 바깥에서 만난다고 해서 외접이라고 해요.

다른 경우는 (3)번처럼 작은 원이 큰 원의 안쪽에 들어있으면서 한 점에서 만나는 경우예요. 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리와 같아야 하죠. 즉, r' - r = d가 되어야 해요. 이때는 큰 원의 안에서 만난다고 해서 내접이라고 해요.

두 원의 위치관계 - 만나지 않는 경우, 외부에 있을 때, 내부에 있을 때, 동심원

세 번째는 만나지 않는 경우예요. 만나지 않는 경우는 세 가지가 있어요.

(4)번처럼 두 원이 완전히 떨어져서 만나는 않는 경우예요. 이때는 두 원의 반지름의 합보다 중심거리가 더 길어야겠죠? r + r' < d에요.

(5)번은 작은 원이 큰 원의 안에 있으면서 서로 만나지 않는 경우예요. (3)번과 다르죠? 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 커야 해요. d < r' - r이죠.

(6)번은 아주 특이한 경우인데요. 두 원의 중심이 같고 반지름이 다른 경우예요. 두 원의 중심이 같으니까 중심거리가 0이에요. d = 0, r ≠ r' 인 경우죠. 두 원의 위치관계에서는 특별히 얘기하지 않으면 두 원의 반지름이 다른 것으로 보기 때문에 d = 0만 써도 크게 상관은 없어요.

이처럼 중심이 같고, 반지름이 다른 원을 동심원이라고 합니다.

아래 표처럼 정리할 수 있어요.

표를 다 외울 필요는 없어요. 이걸 외우는 건 정말 멍청한 짓이에요. 왜 이런 표가 나왔는지를 이해하면 됩니다. 특히 두 점에서 만날 때 r' - r 가 왜 나오는지에 대해서 이해하세요.

두 원의 위치관계 찾기

두 원의 위치관계를 알고 싶을 때는 두 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리가 합과 차의 사이에서 어디에 있는지를 보면 돼요.

만약 중심거리가 차보다 작으면 내부에, 차와 같으면 내접, 차와 합 사이면 두 점에서 만나고, 합과 같으면 외접, 합보다 크면 외부에 있어요. 아래 그림이 무슨 내용인지 이해하겠죠? 위 표를 이해하는 것보다는 훨씬 쉬울 거에요.

중심선, 중심거리, 공통현

두 원의 중심 사이의 거리를 중심거리라고 한다고 했어요.

이외에도 두 원의 위치관계에서 사용하는 용어에는 중심선과 공통현이라는 게 있어요.

중심선은 두 원의 중심을 연결한 직선이에요.

공통현은 두 원이 두 점에서 만날 때에만 생겨요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 현은 원에서 두 점을 연결한 직선이라고 했어요. 두 원이 만나는 두 점을 연결하면 현이 생기는데 이 현은 두 원 양쪽 모두에 공통으로 들어있어서 공통현이라고 불러요.

여기서도 두 원이 한 점에서 만날 때 그 점을 접점이라고 해요. 주의할 건 접점은 한 점에서 만날 때(내접, 외접)만 사용하는 용어에요. 두 점에서 만날 때는 접점이라는 용어를 사용하지 않아요.

중심선은 공통현을 수직이등분해요. 참고로 알아두면 문제 푸는 데 도움이 될 거에요.

반지름의 길이가 3cm, 5cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 두 원의 위치관계를 말하여라.
(1) d = 4cm
(2) d = 8cm
(3) d = 12cm

이 문제를 풀 때는 큰 원의 반지름과 작은 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리와 비교하면 쉬워요.

r + r' = 3cm + 5cm = 8cm, r' - r = 5cm - 3cm = 2cm입니다.

(1) d = 4cm이면 2cm보다는 크고 8cm보다는 작죠? 반지름의 차보다 크고 합보다 작을 때는 두 원이 두 점에서 만나는 경우였죠?

(2) d = 8cm이면 두 원의 반지름의 합과 같네요. 합과 같으면 외접, 즉 한 점에서 만나는 경우에요.

(3) d = 12cm이면 두 원의 반지름의 합보다 커요. 따라서 두 원은 외부에 있으면서 만나는 않는 경우가 되겠네요.

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