삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값
이차함수를 공부할 때 이차함수의 최댓값과 최솟값 공부했던 것 기억하나요? 삼각함수도 함수니까 최댓값과 최솟값을 구할 수 있겠죠? 지금부터 바로 삼각함수의 최대, 최소를 구해볼 거예요. 단순히 삼각함수의 최대, 최소가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구할 겁니다.
삼각함수의 최댓값과 최솟값은 삼각함수 + 이차함수의 최댓값과 최솟값이에요. 그다지 어려운 내용은 아니에요.
삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법과 주의할 점에 대해서 알아보죠.
삼각함수를 포함한 식의 최대, 최소
그냥 삼각함수의 최대, 최소는 치역을 구하면 되겠죠? 삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소에 나오는 내용을 이용하면 돼요. 하지만 그냥 삼각함수가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법은 달라요.
삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 아래의 순서대로 합니다.
- 주어진 식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼다.
- 삼각함수를 t로 치환한다.
- 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구한다.
삼각함수를 포함한 식에 sin, cos이 하나만 있으면 바로 2번째 단계로 넘어가도 돼요. 그런데 sin과 cos이 섞여 있다면 sin만 있는 식으로 바꾸거나 cos만 있는 식으로 바꿔서 해야 해요. x, y가 섞여 있는 식보다는 x만 있는 식이나 y만 있는 식이 편한 것처럼요.
이때, 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sin2θ + cos2θ = 1이라는 관계를 이용하세요.
sin2x = 1 - cos2x
cos2x = 1 - sin2x
식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼 후에는 삼각함수를 다른 문자로 치환하세요.
sinx → t
cosx → t
tanx → t
삼각함수를 t로 치환하면 t에 대한 일차함수 또는 t에 대한 이차함수가 돼요. 일차함수의 최댓값, 최솟값, 이차함수의 최댓값과 최솟값은 구할 수 있잖아요. 그 방법을 그대로 이용하면 돼요.
삼각함수를 t로 치환할 때 주의해야 할 게 있어요.
x의 범위가 주어져 있지 않다면 -1 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 t로 치환하면 -1 ≤ t ≤에요. cosx도 마찬가지고요. tanx의 치역은 실수 전체의 집합이니까 tanx를 t로 치환하면 t의 범위도 실수 전체의 집합이 되겠지요.
x의 범위가 주어졌을 때 sinx, cosx, tanx의 범위가 달라질 수도 있는데, 이때도 마찬가지로 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구해야 해요. 예를 들어 0 ≤ x ≤ π일 때는 0 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 치환한 t의 범위도 0 ≤ t ≤ 1이 되지요.
다음을 구하여라.
(1) y = cos2x - 2cosx + 3의 최댓값과 최솟값
(2) y = 2cos2x - 8sinx - 1의 최댓값과 최솟값 (0 ≤ x ≤ π)
(1) cosx = t로 치환해보죠. x의 범위가 주어져 있지 않기 때문에 -1 ≤ cosx ≤ 1이에요. 따라서 -1 ≤ t ≤ 1이죠.
y = cos2x - 2cosx + 3
= t2 - 2t + 3
= (t2 - 2t + 1 - 1) + 3
= (t - 1)2 + 2
이차함수의 최댓값과 최솟값에서 최대, 최소는 경곗값 또는 꼭짓점에서 생기므로 이 값들을 대입해보죠.
t = cosx = -1일 때, 6
t = cosx = 1일 때, 2
최댓값은 6, 최솟값은 2네요.
(2) y = 2cos2x - 8sinx - 1에는 sinx와 cosx 두 종류의 삼각함수가 들어있어요. 따라서 한 종류의 삼각함수만 있도록 식을 바꿔야 해요.
y = 2cos2x - 8sinx - 1
= 2(1 - sin2x) - 8sinx - 1
= -2sin2x - 8sinx + 1
한 종류만 있게 바꾼 후에는 t로 치환해야 해요.
y = -2sin2x - 8sinx + 1
= -2t2 - 8t + 1
= -2(t2 + 4t) + 1
= -2(t2 + 4t + 4 - 4) + 1
= -2(t + 2)2 + 9
t의 범위도 구해야 하는데요. x의 범위가 0 ≤ x ≤ π이기 때문에 0 ≤ sinx ≤ 1이고, 0 ≤ t ≤ 1 이에요. 근데 꼭짓점이 이 범위에 있지 않네요. 주의하세요.
t = sinx = 0일 때, 1
t = sinx = 1일 때, -9
최댓값은 1, 최솟값은 -9네요.
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