삼각함수의 그래프

고등수학/고1 수학

삼각함수의 그래프 - tan 그래프

수학방 2013. 12. 15. 16:00

삼각함수 그래프 세 번째 tan의 그래프예요. tan의 그래프는 앞서 했던 sin, cos의 그래프와 많이 다릅니다. 그래서 주의해서 봐야 해요. 다른 함수의 그래프와 헷갈릴 일은 없으니까 어쩌면 다행이기도 하죠.

tan의 그래프를 그릴 때 조금 어렵다면 삼각함수의 사촌 격인 삼각비의 tan를 생각하세요. 그때 공부했던 내용을 참고하면 tan 그래프를 그리고 이해하는 데 도움이 많이 될 거예요.

각 그래프의 특징을 보고 실제로 그래프를 종이에 예쁘게 그리는 연습을 하세요. 종이에 여러 번 그리는 게 그래프의 특징을 좀 더 빨리 파악하고 외우는 데 많은 도움이 됩니다.

삼각함수의 그래프 - tan 그래프

[중등수학/중3 수학] - 예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비 구했던 거 기억나죠? 그것과 비슷해요. 삼각비와 삼각함수는 한 끗 차이니까요.

좌표평면 위의 단위원과 동경 가 만나는 점을 점 P(x, y)라고 하고 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 해보죠. 의 연장선과 x = 1이 만나는 점을 P'(x', y')이라고 하고요. 그리고 이때 동경 가 나타내는 각을 θ라고 해보죠.

△OPH ∽ △OP'H'이므로 (∵ x' = 1)

tanθ는 동경 의 연장선과 x = 1의 교점 P'의 y좌표, 높이라는 걸 알 수 있어요. 이를 이용해서 tanθ의 그래프를 그려보죠.

θ = 0일 때 P'의 y좌표는 0이므로 tanθ = 0이에요.

θ가 1사분면의 각일 때 θ가 커지면 높이도 커지므로 tanθ도 커져요.

θ = 90° = 이면 직각이라서 그 값을 알 수가 없어요. [중등수학/중3 수학] - 0°와 90°의 삼각비에서 tan90°는 그 값을 정할 수 없다고 했잖아요.

θ가 2사분면의 각일 때 x = 1과 교점이 아니라 x = -1과의 교점의 높이로 구해야겠죠?
(∵ x' = -1)

그래서 tanθ의 부호가 (-)예요. θ가 커지면 높이가 줄어들지만, 부호가 (-)이므로 tanθ는 커져요.

θ = 180° = π이면 높이 = 0이므로 tanθ = 0이지요.

θ가 3사분면의 각이면 θ가 커질수록 tanθ도 커져요. 이때 x' = -1, y' < 0이므로 tanθ > 0이지요.

θ = 270° = 이면 역시 tanθ는 값을 정할 수 없어요.

θ가 4사분면의 각이면 x' = 1로 tanθ = y' < 0이므로 θ가 커질수록 높이는 작아지지만 tanθ는 커져요.

θ가 360° = 2π보다 커지면 위와 같은 내용이 반복돼요. 주기를 2π라고 생각할 수 있어요. 그런데 이 내용을 잘 보면 1사분면의 각일 때와 3사분면의 각일 때, 2 사분면의 각일 때와 4사분면의 각일 때의 변화가 같아요. 즉 주기가 π라는 걸 알 수 있죠. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 tan(π + θ) = tanθ였어요.

tan 그래프의 가장 큰 특징은 sin 그래프, cos 그래프와 달리 물결 모양이 아니라는 거예요. 그리고 모든 영역에서 값이 커져요. 전부 다 오른쪽 위로 향하고 있어요.

그리고 , …… 처럼 nπ + (n은 정수)일 때, 값을 정할 수 없다는 거죠. 그래서 정의역은 nπ + (n은 정수)가 아닌 모든 실수고 치역은 모든 실수예요.

tan(-x) = -tanx이므로 원점에 대하여 대칭이에요.

nπ + (n은 정수)일 때 값을 정할 수는 없지만, 그때의 값에 계속 가까워지고 있어요. 무리함수의 그래프에서 점점 가까워지는 선을 점근선이라고 했죠? x = nπ + (n은 정수)가 바로 점근선이에요.

y = tanx 그래프의 특징
정의역 = {x|x ≠ nπ + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합
원점에 대하여 대칭
주기는 π
점근선은 x = nπ + (n은 정수)

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