닮은 도형의 부피의 비와 넓이의 비 2
닮은 도형의 겉넓이비와 부피비예요. 겉넓이와 부피를 구하는 거니까 당연히 입체도형이라는 얘기죠.
입체도형에서 닮은 도형의 성질을 먼저 정리해볼까요? 입체도형에서는 대응하는 모서리의 길이의 비가 모두 일정해요. 이 일정한 비가 바로 닮음비지요. 그리고 대응하는 면은 서로 닮은 도형이고요.
닮은 도형의 겉넓이의 비, 닮은 도형의 부피의 비와 대응하는 모서리의 길이의 비, 즉 닮음비 사이에 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?
닮은 도형의 겉넓이의 비
두 직육면체가 있어요. 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비는 m : n이죠.
왼쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S1 = 2 × ma × mb + 2 × (ma + mb) × mc
= 2m2ab + 2m2ac + 2m2bc
여기서 세 항에 모두 2m2이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2m2(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아지죠?
2m2(ab + bc + ca) = 2m2ab + 2m2bc + 2m2ca
이번에는 오른쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S2 = 2 × na × nb + 2 × (na + nb) × nc
= 2n2ab + 2n2ac + 2n2bc
여기서 세 항에 모두 2n2이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2n2(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아져요.
2n2(ab + bc + ca) = 2n2ab + 2n2bc + 2n2ca
두 직육면체의 겉넓이의 비를 구해보죠.
S1 : S2 = 2m2(ab + bc + ca) : 2n2(ab + bc + ca) = m2 : n2
닮음비가 m : n → 겉넓이 비는 m2 : n2
새로운 건 아니죠? 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 닮은 도형의 넓이의 비는 닮음비의 각 항을 제곱한 거라는 걸 이미 공부했잖아요. 겉넓이도 넓이니까 똑같은 거예요.
닮은 도형의 부피의 비
왼쪽 직육면체의 부피를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면 V1 = ma × mb × mc = m3abc죠.
오른쪽 직육면체의 부피 V2 = na × nb × nc = n3abc고요.
V1 : V2 = m3abc : n3abc = m3 : n3
닮음비가 m : n → 부피의 비는 m3 : n3
이 내용은 직육면체 뿐 아니라 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구 등 모든 입체도형의 부피에 똑같이 적용돼요.
닮음비, 겉넓이의 비, 부피의 비
이 세 비의 관계는 단위를 생각해보면 쉽게 이해할 수 있어요. 길이의 단위, 겉넓이의 단위, 부피의 단위를 잘 보세요. 단위가 제곱이면 해당 항목도 제곱, 단위가 세제곱이면 그 항목도 세제곱이에요.
| 단위 | 비율 | |
|---|---|---|
| 길이의 비 | cm | m : n |
| 겉넓이의 비 | cm2 | m2 : n2 |
| 부피의 비 | cm3 | m3 : n3 |
반지름이 3cm인 쇠구슬을 녹여서 반지름이 1cm인 쇠구슬을 몇 개 만들 수 있는지 구하시오.
큰 구슬을 녹여서 작은 구슬을 만든다고 했으니까 겉넓이가 아닌 부피의 비를 구해야 하는 문제예요.
작은 쇠구슬의 반지름 : 큰 쇠구슬의 반지름 = 1 : 3이에요. 이게 바로 닮음비죠. 부피의 비는 닮음비를 세제곱하는 거니까 1 : 3의 각 항을 세제곱한 13 : 33 = 1 : 27이네요.
작은 구슬 27개와 큰 구슬 1개의 부피가 같으니까 큰 구슬 1개로 작은 구슬 27개를 만들 수 있어요.
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