연립이차방정식의 풀이 3 – 대칭식

이번에 공부할 연립이차방정식은 대칭식인데요. 연립이차방정식에서는 x, y라는 두 개의 미지수를 사용하죠? 이때, x와 y의 자리를 바꿔도 원래의 식과 같아지는 식을 대칭식이라고 해요.

$\left\{\begin{matrix} x + y + xy = 7 \\x^2 + 3xy + y^2 = 19 \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix}y + x + yx = 7\\y^2 + 3yx + x^2 = 19\end{matrix}\right. $

왼쪽의 x와 y를 서로 바꿨더니 오른쪽처럼 되었어요. 그런데 두 식이 똑같죠? 이런 경우를 대칭식이라고 해요.

이런 식은 x + y = u, xy = v라고 치환해서 풀어요.

$\left\{\begin{matrix} x + y + xy = 7 \\x^2 + 3xy + y^2 = 19 \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix}u + v = 7\\u^2 + v = 19\end{matrix}\right. $

(∵ x² + 3xy + y² = (x + y)² + xy)

치환을 했더니 x, y에 대한 연립이차방정식이 u, v에 대한 연립이차방정식으로 바뀌었죠? 첫 번째 식은 1차식, 두 번째 식은 2차식이에요. 앞서 공부했던 (일차방정식 + 이차방정식)꼴의 연립이차방정식이므로 일차방정식을 한 문자에 대해 정리해서 이차방정식에 대입해서 풀면 되겠네요.

v = 7 ? u
u² + (7 ? u) = 19
u² ? u ? 12 = 0
(u ? 4)(u + 3) = 0
u = -3 or 4
v = 10 or 3

우리가 구해야 하는 건 u, v가 아니라 x, y잖아요. 원래 값으로 바꾸면
x + y = -3, xy = 10
x + y= 4, xy = 3

더해서 4 곱해서 3이 되는 두 수를 구하는 건데, 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에 따라 식으로 만들면 x² ? 합x + 곱 = 0꼴이니
t² - 4t + 3 = 0

그냥 평범한 이차방정식으로 나타낼 수 있어요. 이 이차방정식을 풀면 돼요.

(t - 1)(t - 3)= 0
t = 1 or 3
x = 1, y = 3 or x = 3, y = 1

t² + 3t + 10 = 0
t = $\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times 10} }{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{31}i }{2}$
x = $\frac{-3 + \sqrt{31}i}{2}$, y = $\frac{-3 - \sqrt{31}i }{2}$ or x = $\frac{-3 - \sqrt{31}i }{2}$, y = $\frac{-3 + \sqrt{31}i }{2}$

$$\left\{\begin{matrix} x = 1\\y = 3 \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} x = 3\\y = 1 \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} x = \frac{-3 + \sqrt{31}i}{2}\\ y = \frac{-3 - \sqrt{31}i}{2} \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} x = \frac{-3 - \sqrt{31}i}{2}\\y = \frac{-3 + \sqrt{31}i}{2} \end{matrix}\right.$$

이 풀이는 문자도 많이 나오고, 식이 바뀌는 부분이 많아 헷갈릴 수 있으니 주의해야 해요. 이 변화를 잘 파악해야 합니다.

x , y의 연립이차방정식 → u, v의 연립이차방정식 → t의 이차방정식 → x, y의 값