베다수학으로 곱셈하기

지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명에서 했던 글에 내용을 조금 더 추가했어요. 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱셈, 일의 자리 숫자가 같은 두 자리 자연수의 곱셈이었는데, 여기에는 한 가지씩 조건을 더 추가됐을 때, 베다수학을 이용해서 곱셈을 더 빨리할 수 있거든요.

증명하는 과정은 조금 귀찮을 수 있지만, 결론만 보면 정말 간단하니까 심심할 때 읽어보세요.

베다수학으로 곱셈 빨리하기

십의 자리 숫자가 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

77 × 73을 그림으로 설명해볼까요?

원리는 기본적으로 앞서 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명했던 것과 같아요. 사각형 하나를 옮겨서 큰 사각형 1개, 작은 사각형 1개의 넓이를 이용하는 거지요. 그런데 여기서 일의 자리 숫자 3과 7을 더하면 10이잖아요. 그래서 10의 자릿수를 하나 올려주는 거예요. 70 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80

사각형의 가로 길이가 간단해지는 효과를 얻었어요.

이번에는 그림이 아닌 수식을 이용해서 증명해보죠.

십의 자리가 같고 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수를 A = 10x + y, B = 10x + z(x ≠ 0인 자연수, y, z는 자연수, y + z = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
=10²x² + 10x(y + z) + yz
= 10²x² + 10²x + yz                   (∵y + z = 10)
= 10²x(x + 1) + yz

이게 식으로 증명하려니 조금 복잡해 보이는데, 제일 아래 줄만 보죠.

두 수 중 한 수의 십의 자리에 1을 더해서 다른 수의 십의 자리와 곱하고 거기에 두 수의 일의 자리 숫자를 연결 또는 합체(?)하면 된다는 거예요.

52 × 58을 계산해 볼까요? 두 수의 십의 자리 숫자가 5로 같고, 일의 자리 숫자를 더하면 10이죠? 2 + 8 = 10

십의 자리 숫자 5에 1을 더한 6에 십의 자리 숫자 5를 곱하면 6 × 5 = 30이에요. 여기에 일의 자리를 곱한 2 × 8 = 16을 연결하면 52 × 58 = 3016을 얻을 수 있어요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 십의 자리 숫자 5에 1을 더해줍니다. 5 + 1 = 6
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 6 × 5 = 30
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 2 × 8 = 16
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 30 & 16 = 3016

일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같고 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

두 자연수를 A = 10x + z, B = 10y + z(x, y ≠ 0인 자연수, z는 자연수, x + y = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + 10z(x + y) + z²
= 10²(xy + z) + z²       (∵ x + y = 10)

중간은 복잡하니까 마지막 줄만 볼까요.

두 수의 십의 자리를 곱하고 거기에 일의 자릿수를 더해요. 그리고 일의 자릿수를 제곱해서 연결 또는 합체(?)하는 거죠.

37 × 77을 풀어보죠.

두 수의 십의 자리를 곱하면 3 × 7 = 21인데 여기에 일의 자리 7을 더하면 28이에요. (3 × 7 + 7) = 28. 여기에 일의 자릿수의 제곱 7 × 7 = 49를 연결하면 2849가 나와요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 3 × 7 = 21
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 21 + 7 = 28
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 7 = 49
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 28 & 49 = 2849

다음 계산을 하여라.
(1) 81 × 89
(2) 19 × 99

(1)번은 십의 자리 숫자 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 십의 자리 숫자 8에 1을 더해줍니다. 8 + 1 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 9 × 8 = 72
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 1 × 9 = 09
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 72 & 09 = 7209

(2)번은 일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 1 × 9 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 9 + 9 = 18
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 9 × 9 = 81
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 18 & 81 = 1881

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