코사인법칙, 제2 코사인법칙 증명

고등수학/고1 수학

수학방 2014. 1. 3. 18:30

코사인법칙 두 번째 제2 코사인법칙이에요.

제2 코사인법칙은 제1 코사인법칙의 확장판이에요. 따라서 제1 코사인법칙에 대해서 알고 있어야 하고 증명도 할 줄 알아야 해요.

이 글에서는 제2 코사인법칙을 유도해보고 제2 코사인법칙을 활용해서 문제도 풀어볼 거예요. 제2 코사인법칙이 무엇을 의미하는지 어떤 경우에 제2 코사인법칙을 이용해서 문제를 푸는지 잘 기억해두세요.

제2 코사인법칙을 보기 전에 먼저 제1 코사인법칙부터 볼까요?

세 개의 식이 있는데 각각의 식에 좌변에 있는 항목(a, b, c)을 양변에 곱해보죠.

순서대로 ①식, ②식, ③식이라고 해보죠.

① - ② - ③을 하면

a² - b² - c² = abcosC + cacosB - (bccosA + abcosC) - (cacosB + bccosA)
a² - b² - c² = -2bccosA
a² = b² + c² - 2bccosA

② - ③ - ①을 하면

b² - c² - a² = bccosA + abcosC - (cacosB + bccosA) - (abcosC + cacosB)
b² - c² - a² = -2cacosB
b² = c² + a² - 2cacosB

③ - ① - ②를 하면

c² - a² - b² = cacosB + bccosA - (abcosC + cacosB) - (bccosA + abcosC)
c² - a² - b² = -2abcosC
c² = a² + b² - 2abcosC

제2 코사인법칙
a² = b² + c² - 2bccosA
b² = c² + a² - 2cacosB
c² = a² + b² - 2abcosC

일단 첫 번째 공식만 보죠. a² = b² + c² - 2bccosA

각 항을 보면 a, b, c라는 세 변의 길이와 A라는 한 각의 크기로 되어 있어요. 세 변과 한 각 사이의 관계를 나타내는 식이죠.

b, c라는 두 변의 길이와 A의 각의 크기를 알면 나머지 한 변인 a를 구할 수 있어요. 여기서 A는 어떤 각인가요? a의 대변이자 b, c 사이의 끼인각이죠? 즉 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 끼인각의 대변의 길이를 구할 수 있다는 거예요.

조금 돌려서 얘기해볼까요?

a, b, c 세 변의 길이를 알면 어떨까요? cosA를 구할 수 있죠? 만약에 cosA가 우리가 외우고 있는 삼각비라면 A도 구할 수 있다는 얘기예요.

다음을 구하여라.
(1) a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c
(2) a = 3cm, b = 3cm, c = 3cm일 때, A

(1) 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줬네요. 공식에 대입해보죠.

(2) 세 변의 길이를 알려주고 한 각의 크기를 구하라고 했어요. 코사인법칙은 세 변의 길이와 한 각의 관계를 나타내는 식이니까 공식을 이용해서 각을 구할 수 있어요.

A = 45°

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