삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소

삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x - p)² + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요.

y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요.

만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, -에요.

sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요.

이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠.

y = sinx와 y = asinx의 그래프 비교

	y = sinx	y = asinx
주기	2π	2π
최댓값	1	|a|
최솟값	-1	-|a|

이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠.

y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠.

그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요.

x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다.

y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교

	y = sinx	y = sin(bx)
주기	2π
최댓값	1	1
최솟값	-1	-1

이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠.

이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)²은 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠.

그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요?

y = sin(x + c)
y = sin{x - (-c)}

x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요.

y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q의 그래프를 생각해보세요.

y = ax² + q의 그래프는 y = ax²의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프에요.

같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요.

y = sinx의 그래프와 y = sin(x + c)의 그래프, y = sinx + d 비교

	y = sinx	y = sin(x + c)	y = sinx + d
주기	2π	2π	2π
최댓값	1	1	1 + d
최솟값	-1	-1	-1 + d

위 내용을 한 번에 정리해보죠.

y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠.

y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교

	y = sinx	y = asin(bx + c) + d
주기	2π
최댓값	1	|a| + d
최솟값	-1	-|a| + d

a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다.

y = cosx 그래프의 이동

y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

y = tanx의 그래프의 이동

하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다.

y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠.

a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요.

b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요.

c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요.

d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요.

삼각함수 그래프의 이동

	y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d	y = atan(bx + c) + d
최댓값	|a| + d	없음
최솟값	-|a| + d	없음
주기
점근선	없음.	(n은 정수)

위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요.

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