닮은 도형의 활용

중2 수학 마지막 글입니다. 벌써 끝이라니 ㅠㅠ. 2학년 과정을 다 마친 다음에는 중3 수학을 미리 예습해보세요.

닮은 도형의 활용에서 제일 중요한 건 닮음비에요. 닮음비는 비니까 계산할 때도 비례식을 세워서 계산하는 게 핵심이죠. 비례식 세우는 건 그렇게 어려운 일은 아니잖아요. 계산도 그렇고요.

그런 면에서 닮은 도형의 활용은 다른 단원에서 나오는 활용문제보다 조금은 쉬운 편이라고 할 수 있어요.

문제 유형에 따라 조금 더 쉬운 방법이 있을 수는 있겠지만, 굳이 유형별 문제 풀이법을 따로 익히기보다는 쉽고 공통으로 사용할 수 있는 비례식을 사용하는 게 제일 좋아요.

닮은 도형의 활용

지도에서 거리 구하기

지도는 실제 지형을 작게 표시해서 평면에 나타낸 거예요. 작게 표시할 때 그냥 작게 표시하는 게 아니라 실제 거리를 일정한 비율로 줄이죠. 작게 줄일 때 사용하는 일정한 비율을 바로 축척이라고 하고요. 바로 이 축척이 닮은 도형의 닮음비에 해당합니다.

지도의 축척은 보통 비례식이나 분수로 나타내요. 1 : 50,000이나 으로요. 여기서 1은 지도상에서의 거리, 50,000은 실제 거리로 지도의 1cm는 실제 50,000cm라는 걸 의미해요.

지도의 축척을 주고, 지도상의 거리가 실제로는 몇 m인지 구하거나 반대로 실제 거리가 지도에는 몇 cm로 표시되는지 묻는 문제가 많이 나와요. 실제 거리를 구할 때와 지도상의 거리를 구할 때 모두 공식으로 외워서 문제를 풀기도 하지만 딱히 추천하지는 않아요. ", 지도상의 거리 = 실제 거리 × 축척"이라는 공식이 있는데, 외우려면 헷갈려요.

축척은 비례니까 계산할 때도 "1 : 50,000 = 지도상의 거리 : 실제 거리"처럼 비례식을 세우는 게 더 나은 방법이에요. 좌변은 축척, 우변에는 거리를 쓰는 거죠. 물론 위 공식은 이 비례식을 계산해서 나온 것이긴 하지만 보다 확실하고 안전한 게 좋죠.

축척이 주어진 지도에서 실제 거리 구하기
축척 = 닮음비
공식을 이용하기보다는 비례식을 세워서 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환

단위를 변환할 때, 가지 주의해야 할 게 있어요.

1m = 100cm, 1km = 1,000m = 100,000cm인 건 다 알고 있을 거예요. 거리를 하는 건 별로 어렵지 않아요. 넓이를 변환하는 게 문제죠.

1m² = 10,000cm², 1km² = 1,000,000m²이에요. 단위만 제곱하는 게 아니라 숫자도 제곱을 해줘야 해요.

축척이 인 지도에서 다음을 구하여라.
(1) 두 지점 사이의 거리가 10cm일 때 실제 두 지점 사이의 거리는 몇 km인지 구하여라.
(2) 지도에서 넓이가 2cm²인 부분의 실제 넓이는 몇 m²인지 구하여라.

(1) 은 비례식으로 나타내면 1 : 50,000이에요. 지도에서 1cm는 실제 거리로는 50,000cm라는 거지요. 문제에서 구하는 건 10cm가 실제로 몇 km인지를 구하는 거잖아요. 구하라고 하는 값을 x라고 놓고 비례식으로 써보면 1 : 50,000 = 10cm : x cm라는 비례식을 세울 수 있어요.

1 : 50,000 = 10cm : x cm
x = 50,000 × 10 = 500,000(cm)

문제에서는 몇 km냐고 물어봤으니 단위에 맞게 숫자를 고쳐줘야겠죠?

500,000cm = 5,000m = 5km네요.

(2) 넓이에요. 일단 비례식을 세워보죠. 실제 넓이를 ycm²이라고 놓죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이라고 했어요. 따라서 1 : 50,000이 아니라 1² : (50,000)²라는 비를 사용해야 해요. (50,000)² = (5 × 10⁴)² = 25 × 10⁸이네요.

1 : 25 × 10⁸ = 2cm² : ycm²
y = 2 × 25 × 10⁸ = 50 × 10⁸ = 5 × 10⁹(cm²)

우리가 구한 값은 단위가 cm²이고, 문제에서 요구하는 단위는 m²이에요. 변환할 때 주의하세요.
1m² = 10,000cm²이니까 5,000,000,000cm² = 500,000m²입니다.

높이 구하기

건물, 나무의 높이 구하기는 축척 문제보다 조금 더 쉬워요. 그림이 함께 있으니까요. 나무 그림을 그려주고 그 옆에는 닮은 도형인 삼각형이 함께 나와요.

이런 유형은 나무가 있는 그림에서 삼각형을 찾아서 옆의 삼각형과 닮음비를 이용해서 높이를 구하면 돼요.

높이 구하기
닮은 삼각형을 찾아서 대응변의 비례식을 세워서 계산

죠스 나무의 높이를 구하기 위해 삼각형을 그리고, 그 삼각형을 축소하여 오른쪽에 나타내었다. 죠스 나무의 높이를 구하여라.

축소해서 그렸으니까 두 삼각형은 닮은 도형이에요. 죠스나무의 높이를 x m라고 하지요. 그리고 m 단위를 사용할 거니까 오른쪽 삼각형의 높이도 m로 바꿔줘야 해요. 80cm = 0.8m네요

5m : xm = 1m : 0.8m
x = 5 × 0.8 = 4(m)

함께 보면 좋은 글

닮은 도형의 성질
닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1
닮은 도형의 부피의 비와 넓이의 비 2

정리해볼까요

닮음 도형의 활용

• 지도 문제
  축척 = 닮음비임을 이용해서 비례식을 세워 계산
  문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환
• 높이 구하기
  닮은 삼각형과 대응변의 비례식을 세워서 계산

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 2

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