순열과 조합 - 순열의 활용

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순열과 조합 - 순열의 활용

수학방 2014. 5. 1. 12:30

순열에서 가장 중요한 건 뽑는 순서에 따라 결과가 달라진다는 거예요. 그래서 뽑는 순서가 중요한지 아니면 중요하지 않은지를 잘 구별해야 해요.

문제에 따라서 한 개의 순열로 답을 구할 수 있는 경우도 있고, 여러 개의 순열을 구하여 계산해야 답을 얻을 수 있는 경우도 있어요. 또, 순열이 아니라 그냥 경우의 수를 구해야 하는 경우도 있고요.

어떤 유형에서 어떤 순서를 구할 때 순열을 쓸 것인지, 또 여러 개의 순열을 구해야 하는지를 잘 비교해 보세요.

유형이 많아서 다 다루지는 않고 간단한 것 몇 가지만 해보죠.

순열의 활용

0, 1, 2, 3, 4의 숫자가 적힌 숫자카드 다섯 장 중에서 세 장을 꺼내어 세 자리 자연수를 만들려고 한다. 경우의 수를 구하여라.

세 자리 자연수니까 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 구성할 세 장의 카드가 필요해요. 다섯 장중의 세 장을 뽑는 거니까 ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60일 것 같죠?

그런데 백의 자리가 0이 되면 세 자리 자연수가 아니죠? 따라서 백의 자리는 0이 올 수 없어요. 백의 자리에 올 수 있는 숫자 카드는 1, 2, 3, 4중 하나니까 경우의 수는 4죠?

십의 자리, 일의 자리에 올 카드 두 장을 뽑아야 하는데 백의 자리에서 한 장을 뽑았으니까 남은 카드는 0을 포함한 네 장이에요. 네 장의 카드에서 두 장을 순서대로 뽑아야 하니까 ₄P₂ = 4 × 3 = 12가지예요.

백의 자리 숫자 카드를 뽑는 경우와 십의 자리, 일의 자리 숫자 카드를 뽑는 사건이 둘 다 동시에 일어나야 하니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야겠네요.

세 자리 자연수를 만드는 경우의 수
= (백의 자리 카드를 뽑는 경우의 수) × (십의 자리, 일의 자리 카드를 뽑는 경우의 수)
= 4 × ₄P₂= 4 × 12= 48

숫자 유형에서는 첫 번째 자리에 0이 올 수 없다는 걸 주의해야 해요.

SM엔터테인먼트 회사에서 회식하기로 했다. 바쁜 일정 때문에 모든 그룹이 참여하지는 못하고 소녀시대 9명, f(x) 5명, 샤이니 5명, EXO 12명이 참여하였다. 같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃하여 앉을 때, 테이블에 앉은 방법의 수를 구하여라.

같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃해서 앉아야 하니까 소녀시대는 소녀시대끼리 샤이니는 샤이니끼리 앉아야 해요.

예를 들어 (소녀시대), (샤이니), (f(x)), (EXO) 이런 식으로 앉을 수도 있고 (소녀시대), (EXO), (샤이니), (f(x)) 이런 식으로 앉을 수도 있죠? 즉 네 그룹이 서로 순서를 바꿔서 앉을 수 있어요. 그러니까 그룹이 앉는 방법의 수는 ₄P₄죠.

그런데 소녀시대 그룹 안에서도 멤버 9명이 자리를 앉는 방법이 있어요. 9명 멤버 모두가 순서대로 앉는 거니까 ₉P₉죠. f(x)도 샤이니도 EXO도 각 그룹 안에서 멤버들이 앉는 방법이 있고요. ₅P₅, ₅P₅, ₁₂P₁₂가 될 거예요.

그룹이 앉는 것, 각 그룹의 멤버들이 앉는 건 모두 동시에 일어나니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야 해요.

따라서 답은 ₄P₄ × ₉P₉ × ₅P₅ × ₅P₅ × ₁₂P₁₂ = 4! × 9! × 5! × 5! × 12! 이에요.

숫자가 너무 크니까 계산은 하지 않을게요.

여기서 가장 중요한 건 이웃해야 하는 것들을 하나의 묶음으로 보는 거예요. 각 그룹의 멤버들끼리 이웃해서 앉는 거니까 각 그룹을 하나의 묶음으로 보는 거지요. 그 묶음들을 배치하는 경우의 수를 구해요. 그리고 각 묶음 안에서 자리 배치를 하는 경우의 수를 구하는 거죠. 묶음을 배치하는 것과 묶음 안에서 배치하는 건 동시에 일어나는 사건이니까 이 두 개를 곱해요.

이웃하는 경우의 수를 구하는 순서예요.

이웃하는 것을 하나의 그룹으로 묶어서 계산
(묶음을 배치하는 순열) × (각 묶음 안에서 구성원을 배치하는 순열)

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