등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.
등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.
등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.
등비수열의 합
등차수열의 합을 구할 때는 Sn을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn - 2 + arn - 1
Sn = arn - 1 + arn - 2 + … + ar3 + ar2 + ar + a
등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.
어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 Sn에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.
아래에 나온 것처럼 Sn에 공비 r을 곱하면 Sn의 제2항은 rSn의 제1항과 같고, Sn의 제3항은 rSn의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.
Sn - rSn = (1 - r)Sn = a - arn
r ≠ 1이면 양변을 (1 - r)로 나눌 수 있죠?
r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 an를 죽 쓰고 더해보죠.
Sn = a + ar + ar2 + … + arn - 1
= a + a + a + … + a (∵ r = 1)
= na
r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 an = arn - 1 = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.
r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.
제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn
제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn
다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.
121이네요.
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.
마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?
아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.
2n = 1024 → n = 10
(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.
제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면
제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면
식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.
r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.
a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.
답은 -171이네요.
이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.
r을 구했던 식으로 돌아가죠.
r3 + 1 = -7
r3 = -8
r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.
제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면
이 문제에서는 r3 = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r3 = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.
되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.
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합공식 유도할때요. 1-r에서 어느순간부터 r-1로 바뀌는데 왜 그러죠? 1-(1/3)와 (1/3)-1은 다르잖아요?
분모만 바뀐 게 아니라 분자도 자리가 바뀌었어요. 둘이 같이 바뀌는 건 상관없으니까요.
등비수열합공식이 이해가안되서인터넷을찾던 한학생인데요 설명이좋아서 한번에이해됬네요 감사합니다ㅎ
이해가 되지 않더라도 전에 몇 번 읽어봤던 설명에 제 설명이 덧붙여져서 이해가 된 걸 거예요.
이해하고가요~등비수열의합공식이 왜 그런지찾고 있었는데 ^ㅇ^
그냥 공식을 외우는 게 아니라 유도 과정에도 과심을 갖는 건 굉장히 좋은 자세예요. 공식의 유도 과정을 알면 공식이 훨씬 더 잘 이해되는 법이죠. 앞으로 잊어버리지 마세요.
정말 감사해요 근데 앱이 구글플레이에만 있나요? 구글 결제가 안되는데 네이버어플에 있으면 결제가 쉽거든요 정리가 잘도서 유료라도 받고싶습니다ㅠㅠ
네이버 앱스토어는 등록시켜주지 않아요. ㅠㅠ
구글 플레이에 결제 등록을 하시면 실제 결제되는 금액없이 내려받을 수 있는 무료 어플이에요.
많은 도움이 되었습니다. 감사합니다!ㅎㅎ
댓글 고맙습니다.!ㅎㅎ
마지막 방문이 아니길 바랄게요.
저기 등비수열 식 두개를 나열해서 Sn-rSn이라고 하셨는데 rSn에서 r은 공비라서 n+1도 가능할텐데 왜 rSn이라고 적는지 알려주세요!
n+1을 넣어서 위와 같은 방법으로 빼면, Sn - S(n+1) = -ar^n이 되버리고 여기서는 Sn을 구할 수 없잖아요.
2^n=1024 에서
n= 10 의 풀이 과정이 궁금합니다.^^
등비수열의 일반항(http://mathbang.net/611)을 참고하세요.
제가 지금까지 연립방정식으로 풀었는데 이런 방법이 있었다니!!
연립방정식으로 풀 수 있으면 그것도 좋죠.
비밀댓글입니다
진짜 어려운 거 하시네요. 여기서 수열 공부하셔셔 좋은 결과 얻으시길 "기대"할게요. ㅎㅎ
마지막문제는 많이 어렵네요
여러번 풀어봐야겟어요
고맙습니다
계산보다는 그렇게 계산을 하는 이유와 그 흐름을 이해하는 게 중요해요. 이 점 놓치지 마세요.
대학 공부 도중 필요해서 복습하려는데 설명 잘 해주셔서 정말 잘 보았습니다. 헌데 보는 도중 조금 이해가 되지 않는 부분이 있었는데요. 등비수열의 합 증명과정 중에 수열 Sn에 공비 r을 곱해 빼는 부분에서 Sn의 1항은 rSn의 2항이 된다고 하셨는데, 그 반대 아닌가요? rSn이 r을 곱한 수열이니까 rSn의 1항이 Sn의 2항이 될 것 같은데.. 제가 설명을 잘 못 읽은 것인지, 오래전 배운 것이라 잘 모르는 것인지 이해가 안되어 질문 남깁니다.
지적하신 게 맞네요. 수정하겠습니다.
마지막문제 정말재밋네요!
재미있으니까 여러 번 풀어보세요.!!
Sn - rSn을 할 때, 1 - r이 r - 1과 같다고 되어 있는데 어째서인가요?
분모의 1 - r이 r - 1로 바뀔 때, 분자, 분모에서 앞뒤 항의 순서가 모두 바뀌었어요. 그러니까 상관없지요.
한마디로 분자 분모에 -1을 곱해줬다고 생각하시면 됩니다.
선생님 제가 늦은 나이에 공부를 시작했지만 정말 모르는 것이 있어서 여쭤보겠습니다... 등비수열의 합에서 충분히 이해를 하고 만족했지만 도저히 이해가 안가는 것이 하나있는데 Sn을 rSn으로 뺐을 때 결과가 (1 - r)Sn 잖아요? (1 - r ) 이게 갑자기 왜 튀어나온건지 이해가 안되서 여쭤볼게요... 이것만 이해되면 충분할거 같아요..
그냥 인수분해 한 거예요.
마지막 문제는 그냥 등비수열을 재구성해서, 1~3번째 항을 하나의 항으로 보면 1~6항의 합은 1~3항 합 ( 첫번째 항 ) + 4~6항 합 (두번째 항) 이니까 4~6항의 합은 21-(-3)=24 가 되고, 이건 -3에 -8을 곱한거니 r^3(기존 등비수열의 공비 = r)이 -8인 걸 알 수 있고 6~9항의 합은 24*(-8)이니 21(1~6항의 합)+24*(-8)(6~9항의 합)= -171이 나옵니다. 더 쉬운 풀이를 알려드리고 싶어서......
이 블로그는 기본적인 개념을 이해하는데 목표를 두고 운영하는 블로그입니다.
그래서 조금 답답할 수 있지만 기본에 충실한 방법으로 설명을 했습니다.
특정 유형의 문제를 쉽게 푸는 팁은 다른 곳에서도 정보를 구할 수 있어서 굳이 다루지 않고 있어요.
그렇군요.. 제 생각이 좀 짧았네요.
아닙니다.
블로그의 운영 의도는 저 말고 아무도 모르는 거지요. 방문자가 그걸 파악하는 건 거의 불가능할 거예요.
고2님께서 그런 방법을 찾아내실 수 있다는 건 본문의 내용을 충실히 이해하고 있을 뿐 아니라 창의적인 생각까지 할 수 있다는 것으로 매우 칭찬받으실 만합니다.
다른 글에도 좋은 의견들 많이 써해주세요.
등비수열 합 공식이 이해가 가지 않았는데 이렇게 설명해 주시니 감사합니다. 유도 방법이 재밌네요
좀 어렵지만 재미있네요.