인수분해는 곱셈공식의 반대과정이니까 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식만 잘 외우고 있으면 반은 먹고 들어가는 단원이에요. 그렇다고 해서 인수분해 공식만 외우고 문제는 풀지 못하는 상황에 빠지면 안돼요. 공식을 외우는 건 계산을 쉽고 빠르게 하기 위해서니까요. 공식을 외우는 게 목적이 되어서는 안돼요.
이 글은 복잡한 식의 인수분해 방법 첫번째에요. 문제 자체에 공식을 바로 적용할 수 없으니 공식을 적용할 수 있도록 식의 모양을 바꾸는 방법을 공부할 겁니다. 처음 보면 복잡해보이지만 몇 가지 방법만 알면 기존에 외우고 있는 공식을 바로 써먹을 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.
복잡한 식의 인수분해
공통인수로 묶기
복잡한 식을 인수분해를 할 때 가장 먼저 해야할 일은 모든 항에 들어있는 공통인수로 묶는 것이에요. 일단 공통인수로 묶으면 남은 것들끼리 인수분해 공식을 이용해서 인수분해 할 수 있어요. 공통인수는 숫자일 수도 있고, 문자일 수도 있고, 숫자와 문자가 함께 있을 수도 있어요.
2x3y + 4x2y2 + 2xy3을 해보죠. 모든 항에 2xy가 들어있어요. 2xy로 묶어보죠.
2x3y + 4x2y2 + 2xy3
= 2xy(x2 + 2xy + y2)
= 2xy(x + y)2 ∵괄호안이 완전제곱식
2xy로 묶지않고 인수분해를 하려 했다면 할 수가 없었겠죠?
복잡한 식의 인수분해 1
공통인수로 묶기 → 인수분해 공식 사용
치환
치환은 바꾸는 걸 말해요. 식 안에 길이가 긴 내용을 짧은 다른 문자로 바꾸는 거죠. 치환은 2학년 곱셈공식 - 다항식 × 다항식을 공부할 때 이미 한 번 본 적이 있어요. 치환이라는 용어를 사용하지 않았을 뿐이에요.
a(a + b) - b(a + b)라는 식이 있다고 해보죠. 괄호를 전개해서 해볼까요?
a(a + b) - b(a + b)
= a2 + ab - ab - b2
= a2 - b2
= (a + b)(a - b)
복잡하죠? 문제에서 (a + b)라는 괄호로 묶어진 항을 t라는 문자로 바꿔보죠. (a + b) = t
a(a + b) - b(a + b)
= at - bt
= (a - b)t ∵t는 공통인수
= (a - b)(a + b) ∵a + b = t 이므로
두 번째 줄에서 (a + b) = t라고 놓으니까 두 항에 모두 t라는 공통인수가 들어있네요. 인수분해가 훨씬 쉬워졌죠? 그리고 t라는 문자에 원래 값인 (a + b)를 넣어줬더니 괄호를 전개해서 정리하고 인수분해한 것과 같죠?
치환을 하면 식의 길이도 짧아지고 차수도 낮아지는 장점이 있어서 계산할 때 많이 사용하는 방법이에요. 주의해야할 건 치환을 한 후에 답을 쓸 때는 대신 썼던 문자를 원래 값으로 바꿔줘야 한다는 거에요. 위에서도 마지막 줄에 t = (a + b)를 넣는 것까지 해야 계산이 끝나는 거에요. (a - b)t 라고 쓰면 틀립니다.
그리고 치환을 할 때 사용하는 문자는 t뿐 아니라 A, B 등 아무거나 상관없어요. 문제에 나와있지 않은 문자면 돼요.
(2a - b)2 - 2(2a - b) - 8을 인수분해 해볼까요? 이 식도 마찬가지로 전개하지 않고 (2a - b) = t라고 치환해보죠.
(2a - b)2 - 2(2a - b) - 8
= t2 - 2t - 8
= (t - 4)(t + 2)
= (2a - b - 4)(2a - b + 2)
2a - b를 t라는 문자로 치환한 다음에 계산을 하고, 마지막에 t에 원래 값인 2a - b를 대입했더니 인수분해가 됐네요.
이번에는 (x + 1)2 - (y - 1)2을 해보죠. 괄호로 묶어진 (x + 1) = A, (y - 1) = B라고 치환해보죠. 괄호 안의 내용이 서로 다르니까 다른 문자로 치환했어요.
(x + 1)2 - (y - 1)2
= A2 - B2
= (A + B)(A - B)
= {(x + 1) + (y - 1)}{(x + 1) - (y - 1)}
= (x + y)(x - y + 2)
복잡한 식의 인수분해 2 - 치환
식의 일부를 다른 문자로 바꾸어 계산 → 계산 후 바꾼 문자에 원래 값 대입
여러 항에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶어진 곳을 치환
다음 식을 인수분해 하여라.
(1) a3b - 3a2b - 18ab
(2) (3a + 2)2 + 4(3a + 2) + 3
(3) xy(x + 2)2 - xy(y + 2)2
인수분해의 시작은 공통인수로 묶는 거에요. 공통인수로 묶은 후에 인수분해 공식을 사용해요. 공통인수로 묶어지지 않는다면 바로 인수분해 공식을 사용하거나 치환 등을 이용해서 인수분해 합니다.
(1) a3b - 3a2b - 18ab
ab(a2 - 3a - 18) ∵ ab가 공통인수
= ab(a - 6)(a + 3)
(2) (3a + 2)2 + 4(3a + 2) + 3
= t2 + 4t + 3 ∵ 3a + 2 = t로 치환
= (t + 1)(t + 3)
= (3a + 2 + 1)(3a + 2 + 3) ∵ 원래 값 대입. t = 3a + 2
= (3a + 3)(3a + 5)
= 3(a + 1)(3a + 5) ∵ 3이 공통인수
(3) xy(x + 2)2 - xy(y + 2)2
= xy{(x + 2)2 - (y + 2)2} ∵ xy가 공통인수
= xy(A2 - B2) ∵ A, B로 치환
= xy(A + B)(A - B)
= xy{(x + 2) + (y + 2)}{(x + 2) - (y + 2)}
= xy(x + y + 4)(x - y)
공통인수로 묶기에서 갈호안에 x가 빠진거같아요 아닌가?;;;;;;
x는 어디가고 제곱만 남았네요. ㅎㅎ
질문하나만 할게요 a^2-6ab+9b^2-1 이 식을 인수분해하는데 풀이과정에서 완전제곱식으로 (a-3b)^2-1 이렇게되는데요 뒤에 -1 을 어떻게 인수분해를해야할지 설명좀부탁드려요
1 = 1^2 이죠.
(a-3b)^2 - 1^2 이 돼서 제곱 - 제곱꼴이 돼요. 이건 합차공식을 이용해서 인수분해 할 수 있어요.
자세한 건 복잡한 식의 인수분해 2 - 항이 4개 이상일 때(http://mathbang.net/275)를 참고하세요.
아 감사합니다 숫자1도 제곱이라는걸 깜박햇네요 즉 합차공식으로인해 (a-3b+1)(a-3b-1) 이렇게되는거군요
하나만더 질문할게요 x^4-y^4 이 식을 인수분해하는데 합차공식을 사용할수있을까요?
4^2 = (2^2)^2 이죠?
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2
이 정도면 힌트가 됐나요?
(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2) 말씀대로라면 여기까지가 인수분해맞죠 +는 합차공식을 할수없으니 깐요 감사합니다 선생님
잘 이해하셨네요. ㅎㅎ
전단원에 인수분해 공식 팁에서 적용안되는게 있는거 가튼데여
저 위에 치환 설명 첫번째 예제에 t^2-2t-8에서 상수항 일차항 둘다 -니깐 -의 절댓값이 가장 큰 (-8,1)이 돼야하는데 실제론 (-4,2)가 돼잖아요..그리고 끝에 마지막 3문제중 첫번째 문제에도 ab(a^2-3a-18)에서도 음수,음수인데 (-18,1)이 안되고 실제론 (-6,3)으로 돼잖아요
그리고 마지막 3문제중 3번째 문제에 마지막 과정 3공통인수로 묶기에서 (a+1) (a+5)여야 돼는거 가튼뎅여 ㅠ.ㅜ
인수분해 공식 팁에서 상수항이 되는 숫자는 둘 중에 어느 것의 절댓값이 크냐를 따지는 거지 절댓값이 가장 큰 거를 찾는 건 아니에요.
(3a + 3)(3a + 5)에서 앞에 있는 항 (3a + 3) = 3(a + 1)이 되고, 뒤의 (3a + 5)는 그냥 그대로 쓴 겁니다.
(3a + 3)(3a + 5)
= 3(a + 1)(3a + 5)
3a + 3과 3a + 5는 완전히 서로 다른 항이에요. 따라서 인수분해도 따로따로 해야 해요.
아~ 마지막 항 착각했네여 ㅠ.ㅜ
저 긍데 둘중 어느것으 ㅣ절댓값이 크냐와 절댓값이 가장 큰거 차이가 머져? 왜 이해가 안돼지;; 바보인가 ㅠ.ㅜ OTL..
감사합니다
많이 배우고 가요
다른 내용도 많이 있으니까 또 배우러 오세요.
선생님! 질문이 좀 많은데 부탁드릴게요.
1)본문에서 합차공식을 설명하셨을때 a²-b²=(a+b)(a-b)로 바로 식이 변형되는 모습이 정확히 이해가 안가요. 외우긴 외웠지만 바로 저렇게 식이 변형되니 무슨 말인지 잘 모르겠어요..
2)인수분해를 특별한 조건이 없으면 유리수까지 하라는데 이해가 정확히 안되네요.. 예를 들어서 설명해주실수 있을까요??
3)인수분해 본문 2번문제에서 3a를 공통인수로 묶어낼 수는 없나요? 왜 3으로만 묶은건지 잘 모르겠습니다. (3a+3)을 3으로만 묶어내는것보다 (3a+3)(3a+5)를 어떻게 잘 하면 3a로 묶을수 있을것같기도 하는것같은데요..
감사합니다 ^^
1) 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식(http://mathbang.net/270) 참고하세요.
2) 문제를 풀면 자연스럽게 이해하게 될 겁니다.
3) 모든 항에 공통으로 들어있는 인수로 묶어야 합니다. 자세한 설명은 위의 위 댓글을 참고하세요.
선생님! 쌤이 3(a+1)(3a+5)에서 3(a+1)과 (3a+5)는 각각 완전히 다른 항이라고 하셨잖아요? 그러면 각각 완전히 다른 항이라는것은 어떻게 구분하는것이며 무엇을 뜻하는 건가요??
감사합니다.^^
전개했을 때 값이 다르면 다른 항이죠.
왜 (2a-b)를 t로치환해요?
기본적인 치환의 이유는 본문에 설명되어 있어요.
대체로 괄호로 묶인 부분을 치환해서 나중에 풀어내는 것이 식을 간단히 계산하는 방법이라 2a + b를 치환했어요.
선생님! 중3 문제집을 보면 공통부분을 치환을 할 때 대부분 A라는 문자를 사용하는데요. 다른 문자를 사용해도 되는데 A라는 문자를 사용하는 특별한 이유가 있나요?? 어떤 영단어를 첫 글자라던지 그런 의미가 있지 않을까 생각이 드는데 알려주시면 감사하겠습니다!!
그리고 극한에서는 t로 치환하던데 이것도 왜 t로 하는걸까요??
1. 본문에 설명되어 있는 것처럼 아무 의미없습니다. A라고 해도 되고 B라고 해도 되고, 네모, 세모, 개똥이, 쇠똥이 다 상관없습니다.
2. 치환이 영어로 transposition, substitution이라서 t를 많이 사용하는 것뿐입니다.
인수분해는 어떡해야 끝나는 건가요
(2a-b-4)(2a-b-6)가 답인데
2a-b 와 2가 두 항에 공통으로 들어가 있는데 인수분해를 더 할수 있는거 아닌가요
어디까지 해야 답인지 너무 헷갈려요 도와주세요
괄호 안의 모든 항에 2a - b가 들어있거나 2가 들어야 해요.
어느 한 항이라도 해당하지 않는다면 인수분해가 끝난 거예요.
그리고 인수분해는 곱하기로 연결되어
있어야 해요. 2a - b가 들어있다고 하지만 뒤가 -4, -6로 곱셈으로 연결되지 않아서 인수분해할 수 가 없어요.
예시로 올려주신 내용은 인수분해가 끝난 상태입니다.
인수정리를 이용한 인수분해 어렵습니다
인수정리를 이용한 인수분해는 여기에 있어요. 힘내시고 한 번 읽어보세요.
http://mathbang.net/321