인터넷 돌아다니다가 일본에서 공부하는 수학문제를 봤어요. 시험지를 찍어서 올려놓은 사진인데 어쩌면 일본의 네이버 지식인 같은 곳에 문제 풀어 달라고 올린 사진일 수도 있겠더라고요. 수학이라는 게 그림과 기호로 표시하는 학문이다 보니 일본어로 된 문제를 읽지 못해도 문제를 푸는 데는 전혀 지장이 없네요.

우리의 중3에서 공부하는 원의 성질 단원 문제더군요. 얼마 남지 않은 기말고사 범위에 원의 성질이 들어갈 테니까 시험공부 삼아 함께 풀어보자고요. 어려운 문제는 아니니까 그냥 설명만 잘 읽어도 이해될 거예요.

일본의 수학문제

문제에 점 O는 어쩌고저쩌고, 는 어쩌고저쩌고 라고 일본어로 쓰여 있는데, 읽어보나 마나 x을 구하는 문제겠죠. ㅎㅎ

 

 

첫 번째 문제푸터 풀어보죠.

 

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어볼까요? 선을 그었더니 x가 둘로 나눠어졌어요.

x = ∠BAC + ∠DAC

원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질에서 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다는 걸 공부했어요.

호 BC의 원주각 = ∠BAC = ∠BDC = 42°
호 CD의 원주각 = ∠DAC = ∠DBC = 31°

x = ∠BAC + ∠DAC = 42° + 31° = 73°

(2) 번 문제예요.

 

마찬가지로 점 B와 점 D를 연결하는 선을 긋고 원주각의 성질을 이용해서 풀어보죠.

△BCD가 생기는데요. ∠BCD = 180° - 123° = 57°

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
호 BC의 원주각 = ∠CDB = ∠CAB = x
호 CD의 원주각 = ∠DBC = ∠DAC = 45°

삼각형 BCD 내각의 합은 180이므로
∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180°
57° + x + 45° = 180°
x = 78°

사각형 ABCD가 원에 내접하는 사각형이므로 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용할 수도 있어요. 원에 내접하는 사각형에서는 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°이므로
∠DAB + ∠DCB = 180°
x + 45° + 57° = 180°
x = 78°

둘 다 78°가 나오네요.

3번은 원의 접선의 길이를 이용하는 문제예요. 점 O는 ABC의 내심이겠네요. (삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질)

 

삼각형의 각 변을 점 O를 중심으로하는 원의 접선이라고 생각할 수 있어요. 원의 접선, 원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다고 했지요.

점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이가 같으므로 = 5

점 C에서 원 O에 그은 두 접선의 길이가 같으므로  = 10 - 5 = 5

점 B에서 원 O에 그은 두 접선의 길이가 같으므로 x =  = 9 - 5 = 4

문제의 그림에 길이에 대한 단위가 없으니까 단위를 쓰면 안되겠죠. 그래서 답은 그냥 4네요.

4번은 접선과 현이 이루는 각 문제예요.

 

접선과 현이 이루는 각에서 원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각 = 각에 포함된 호의 원주각 이라는 걸 공부했어요.

접선 와 현 가 점 A에서 만나서 생기는 각인 ∠BAT는 호 AB의 원주각인 ∠ACB와 같아요. 계산할 것도 없이 x = 62°입니다.

 

접선과 현이 이루는 각에 의해 접선 와 현 가 점 A에서 만나서 생기는 각인 ∠CAT는 호 AC의 원주각인 ∠CBA와 같아요

∠CAT = ∠CBA = 45°

1학년 때 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다고 했었죠?

△CAT에서 ∠ACT의 외각인 ∠ACB는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로
x = ∠ACB = ∠CTA + ∠CAT = 30° + 45° = 75°

일본 학생이나 우리나라 학생이나 배우는 건 똑같네요. 기말고사 시험에 이 정도 수준만 나오면 학생들이 100점 맞을 수 있겠죠?

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